Educational Codeforces Round 159 总结

最失败的一集。

C

开题顺序搞错，不小心先开了C，以为是A。还好C不难。
题意大概是在给定的数组最后添一个数（所有数两两不同），再自定义一个数 $k$ ，数组中每个数可以加上若干个 $k$ ，最后使得所有数字相等。要求加 $k$ 的次数最少。
如果不加最后一个数，那么显然把所有的数加到与最大的那一个数相等最优， $k$ 就是所有数与最大值的差的 $gcd$ 。
考虑加上最后一个数：
假设最后一个数不是最大值，那么只要让它与最大值的差值最小且这个差值是 $k$ 的倍数。可以直接枚举 $1$ 到 $n$ 每个 $k$ 的倍数是否出现过。最劣的情况差为 $n k$ ，答案 $+ n$ 。
假设最后一个数是最大值，那么其他每个数都要加一次 $k$ ，答案 $+ n$ 这和以上那种情况中最劣的相同，可以不考虑。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1e6+5,MOD=998244353;
int gcd(int x,int y)
{
   return y?gcd(y,x%y):x;
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int T;cin>>T;
    while(T--)
    {
        int n;cin>>n;
        vector<int> A(n);
        for(int i=0;i<n;i++) cin>>A[i];
        sort(A.begin(),A.end());
        if(n==1) cout<<1<<endl;
        else
        {
            int g=A[1]-A[0],ans=0;
            for(int i=2;i<n;i++)
                g=gcd(g,A[i]-A[i-1]);
            map<int,int> mp;
            for(int i=0;i<n;i++) ans+=(A[n-1]-A[i])/g,mp[(A[n-1]-A[i])/g]++;
            for(int i=1;i<=n;i++) if(!mp[i])
            {
                ans+=i;
                break;
            }
            cout<<ans<<endl;
        }
    }
}

A

签到题，给一个01串，可以再01或10之间插入0，可以在00或11之间插入1，问最终能否使0的个数多于1。
只要不是全1就可以。

B

细节题。给定 $n, P, l, t$ ， $n$ 是总天数， $P$ 是 $n$ 天内要拿的分， $l$ 是上一节课的分数， $t$ 是做一次作业的分数。
一天做多做两次作业，上一节课。并且作业只会在第 $(1 + 7 * k)$ 天布置一次，可以再布置之后的任意一天做。
问做多能休息几天，也就是最小化做作业和上课的天数。
一开始的想法是二分答案，但写完之后发现会爆 long long 。所以不行。
补：好像是可以二分的，是我自己范围取大了挂了 😦
其实只要分类讨论，显然把所有作业放到最后几天完成最优（符合实际），并且做作业的几天去上课显然不亏。
于是判断最后几天做完作业并且在那几天去上课能否满足 $P$ 分要求，满足则再看能否少上几天，不满足就用上课填余下的分数。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1e6+5,MOD=998244353;
int n,P,l,t,ans;
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int T;cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>n>>P>>l>>t;
        int tasks=(n-1)/7+1;
        if(tasks*t+(tasks+1)/2*l>=P)
        {
            cout<<n-(P+2*t+l-1)/(2*t+l)<<endl;
        }
        else
        {
            P-=tasks*t+(tasks+1)/2*l;
            n-=(tasks+1)/2;
            cout<<n-(P+l-1)/l<<endl;
        }
    }
}

好了，后面都是我没敲出来题了。但是思想不难，可做。
但为什么放三道数据结构？

D

题意：机器人按照给出的包含UDRL的字符串从 $(0, 0)$ 开始行动， $q$ 个询问包含 $l, r, x, y$ ，问翻转行动序列的从 $l$ 到 $r$ 的子串，机器人是否经过点 $(x, y)$ 。
首先可以预处理整条路线，翻转一段行动序列就是把图形局部旋转 $180 °$ 。但路线旋转 $180 °$ 不好维护，于是想到可以旋转每个询问的点，这样就不用对序列进行操作。
于是可以维护每一个经过的点被机器人经过的所有时间，用这些时间与每个询问的 $l, r$ 作比较，可以得到答案。

#include<bits/stdc++.h>
// #define int long long
using namespace std;
const int N=2e5+5,MOD=998244353;
template<class T>inline void read(T &x)
{
	x=0;int f=0;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)) f=ch=='-',ch=getchar();
	while(isdigit(ch))	x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	x=f?-x:x;
}
template<class T>inline void write(T x)
{
	if(x<0) return putchar('-'),write(-x);
	if(x>9) write(x/10);
	putchar('0'+x%10);
}
#define trans(x,y) ((x+n)*(2*n+1)+(y+n))
int p[N];
unordered_map<int,vector<int>> mp;
pair<int,int> poi[N];
pair<int,int> rotate(pair<int,int> A,pair<int,int> O)
{
    return make_pair(O.first-A.first,O.second-A.second);
}
pair<int,int> operator + (const pair<int,int> x,const pair<int,int> y)
{
    return make_pair(x.first+y.first,x.second+y.second);
} 
signed main()
{
    int n,q;
    read(n),read(q);
    poi[0]=make_pair(0,0);
    p[0]=trans(0,0);
    mp[p[0]].push_back(0);
    for(int i=1,x=0,y=0;i<=n;i++)
    {
        char c=getchar();
        while(c!='U'&&c!='D'&&c!='R'&&c!='L') c=getchar();
        if(c=='U') y++;
        if(c=='D') y--;
        if(c=='R') x++;
        if(c=='L') x--;
        poi[i]=make_pair(x,y);
        // cout<<poi[i+1].first<<','<<poi[i+1].second<<endl;
        p[i]=trans(x,y);
        mp[p[i]].push_back(i);
    }
    while(q--)
    {
        int x,y,l,r,fl=0,id,id_ro;
        cin>>x>>y>>l>>r;
        pair<int,int> now=make_pair(x,y);
        pair<int,int> now_ro=rotate(now,poi[l-1]+poi[r]);
        id=trans(now.first,now.second),id_ro=trans(now_ro.first,now_ro.second);
        #define tmp mp[id]
        #define tmp_ro mp[id_ro]
        // vector<int> tmp=mp[trans(now.first,now.second)];
        // vector<int> tmp_ro=mp[trans(now_ro.first,now_ro.second)]; //vector 赋值复杂度就萎了
        if(!tmp.empty())
        {
            if(tmp[0]<l||tmp[tmp.size()-1]>=r) fl=1;
        }
        if(!tmp_ro.empty())
        {
            int pos=lower_bound(tmp_ro.begin(),tmp_ro.end(),l)-tmp_ro.begin();
            if(pos<tmp_ro.size()&&tmp_ro[pos]<r) fl=1;
        }
        if(fl) puts("YES");
        else puts("NO");
    }
}

E

题意：若 $A$ 、 $B$ 是字符串，

C (A, B) = {\begin{cases} C (A_{2, n}, B_{1, n - 1}), A_{1} = B_{n} \\ A + B, otherwise \end{cases}

给定 $n$ 个字符串求：

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} C (s_{i}, s_{j})

trie树裸题，每次把一个串丢进trie中统计一次答案，再将串反向插入trie。
但必须反着再做一次，还要加上每个串自己与自己匹配的贡献。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e6+5,MOD=998244353;
string S[N];
struct node{
    int son[26];
    ll num,cnt;
}trie[N];
int n,rt,tot;
ll ans;
string s;
void insert(int &id,int pos)
{
    if(!id) id=++tot;
    trie[id].cnt++;
    trie[id].num+=s.size()-pos;
    if(pos>=s.size()) return;
    insert(trie[id].son[s[pos]-'a'],pos+1);
}
void query(int id,int pos)
{
    if(!id) return;
    int Son=trie[id].son[s[pos]-'a'];
    if(pos==s.size()-1)
    {
        ans+=trie[id].num-(trie[Son].num+trie[Son].cnt)+(trie[id].cnt-trie[Son].cnt)+trie[Son].num;
        // cout<<ans<<" : "<<trie[id].num<<" "<<(trie[Son].num+trie[Son].cnt)<<" " <<(trie[id].cnt-trie[Son].cnt)<<" "<<trie[Son].num-trie[Son].cnt<<endl;
        return;
    }
    ans+=trie[id].num-(trie[Son].num+trie[Son].cnt)+(s.size()-pos)*(trie[id].cnt-trie[Son].cnt);
    // cout<<Son<<" "<<trie[id].num<<" "<<(trie[Son].num+trie[Son].cnt)<<" " <<(s.size()-pos)*(trie[id].cnt-trie[Son].cnt)<<endl;
    query(Son,pos+1);
}
void solve()
{
    query(rt,0);
    // cout<<s<<"?"<<ans<<endl;
    reverse(s.begin(),s.end());
    insert(rt,0);
}
void cul(string s)
{
    for(int i=0;i<s.size();i++)
        if(s[i]!=s[s.size()-i-1])
        {
            ans+=2*(s.size()-i);
            break;
        }
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>S[i],cul(S[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) s=S[i],solve();
    memset(trie,0,sizeof(trie));
    rt=tot=0;
    for(int i=n;i;i--) s=S[i],solve();
    cout<<ans<<endl;
}

F

题意：给定一棵带点权的树， $q$ 次询问 $x, y, k$ 问在 $x$ 与 $y$ 之间的路径上是否存在一些点异或和为 $k$ 。

部分点权异或和为k，很容易联想到线性基，但是线性基很难支持区间询问，可以考虑用数据结构维护它。但是如果用倍增维护线性基的话复杂度可能达到三只log，不可行。
但是考虑到线性基实际上是至多 $20$ 个线性方程，说明每一个线性基最多被插入 $20$ 次。
因此可以考虑维护从每一个节点往上依次将点权插入线性基时，会对线性基产生改变的几个值。每个节点的线性基最多对应 $20$ 个点。
但是直接暴力往上找的话复杂度会爆炸，于是可以考虑每个节点从父节点转移。
具体实现就是每个节点的线性基先插入自己的点权，再枚举父节点存储的若干个可以插入线性基的点，插入当前点的线性基。
显然，对每一次询问可以拆成两条从下往上的路径，直接暴力枚举 $x, y$ 存储的若干个点，只要在到lca的路径上就插入针对当前询问新建的线性基。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=2e5+5,B=20,MOD=998244353;
struct L_base{
    int bit[B+1];
    void clear()
    {
        memset(bit,0,sizeof(bit));
    }
    int reduce(int x)
    {
        for(int i=B;i>=0;i--)
            if(x&(1<<i)) x^=bit[i];
        return x;
    }
    bool insert(int x)
    {
        x=reduce(x);
        if(!x) return 0;
        for(int i=B;i>=0;i--)
            if(x&(1<<i))
            {
                bit[i]=x;
                return 1;
            }
    }
    bool check(int x)
    {
        return reduce(x)==0;
    }
}base[N];
vector<int> to[N],con[N];
int fa[N][21],cnt,ord_in[N],ord_out[N],A[N],n;
void dfs(int x,int pre)
{
    fa[x][0]=pre;
    for(int i=1;i<=20;i++) fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];

    base[x].insert(A[x]);
    con[x].push_back(x);
    for(int val:con[pre])
        if(base[x].insert(A[val]))
            con[x].push_back(val);
    
    ord_in[x]=++cnt;
    for(auto y:to[x])
        if(y!=pre) dfs(y,x);
    ord_out[x]=++cnt;
}
bool is_ancester(int x,int y)
{
    if(x==0) return 1;
    return ord_in[x]<=ord_in[y]&&ord_out[x]>=ord_out[y];
}
int LCA(int x,int y)
{
    if(is_ancester(y,x)) return y;
    for(int i=20;i>=0;i--)
        if(!is_ancester(fa[y][i],x))
            y=fa[y][i];
    return fa[y][0];
}
bool query(int x,int y,int k)
{
    int lca=LCA(x,y);
    L_base now;now.clear();
    now.insert(A[lca]);
    for(int val:con[x]) if(!is_ancester(val,lca)) now.insert(A[val]);
    for(int val:con[y]) if(!is_ancester(val,lca)) now.insert(A[val]);
    return now.check(k);
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>A[i];
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int u,v;cin>>u>>v;
        to[u].push_back(v);
        to[v].push_back(u);
    }
    dfs(1,0);
    int q;cin>>q;
    while(q--)
    {
        int x,y,val;cin>>x>>y>>val;
        cout<<(query(x,y,val)?"Yes":"No")<<endl;
    }
}