求逆元

线性求逆元

求 \(i\) 在 \(\pmod P\)意义下的逆元。

已知：

\[k*i+r=P \]

则在\(\mod P\)意义下为：

\[k*i+r \equiv 0 \pmod P \]

同时乘以 \(i^{-1}\),\(r^{-1}\)得：

\[k*r^{-1}+i^{-1}\equiv0\pmod P \]

整理得：

\[i^{-1}\equiv-k*r^{-1}\pmod P \]

带入原数据得：

\[i^{-1}\equiv -\left\lfloor\frac{P}{i}\right\rfloor*(P \% i)^{-1} \]

即：

\[f[i] = (P-P/i)*f[P\%i] \]