圆锥曲线基础知识点
圆
圆的标准方程 \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\) 。圆心在 \((a,b)\) 半径为 \(r\) 的圆。
圆的一般方程 \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\) 。其中 \(D = -2a,E = -2b,F = a^2 + b^2 - r^2\) 。
变形后有 \((x + \frac{D}{2})^2 + (y + \frac{E}{2})^2 = \frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}\)
根据 \(r^2 = \frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}\) 判断是否是圆的标准方程。
直线 \(y = kx + b\) 与圆 \(x^2 + y^2 = r^2\) 是否有交？\([r \geq \frac{|b|}{\sqrt{1+k^2}}]\) 等号成立时相切。
在圆外一点 M(x,y) ，过 M 做圆的两条切线，切线互相垂直，那么 M 的轨迹方程是 \(x^2 + y^2 = 2r^2\) 。 相似的，若为椭圆的切线，则轨迹方程为 \(x^2 + y^2 = a^2 + b^2\) 。
过圆上一点 \((x_0,y_0)\) 做切线，切线方程为 \((x-a)(x_0-a) + (y-b)(y_0-b) = r^2\) 。若 \((x_0,y_0)\) 为圆外一点，则直线为过该点与圆的切线的切点连线。
可以使用三角函数表示圆上点坐标，将问题转化为三角函数问题求解，例如将点表示为 \((a+r\cos\theta,b+r\sin\theta)\) 。
圆的直径端点为 \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\) 时，圆的方程为 \((x-x_1)\cdot(x-x_2) + (y-y_1)\cdot(y-y_2) = 0\)
椭圆
平面内有两个定点 \(F_1,F_2\) ，\(a\) 是一个常数。有 \(|PF_1| + |PF_2| = 2a\) 成立，那么 P 的轨迹称为椭圆，\(F_1,F_2\) 是椭圆的焦点，\(|F_1F_2|\) 是椭圆的焦距。
令 \(F_1(-c,0) , F_2(c,0)\) ,椭圆的方程为 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) ，其中 \(b^2 = a^2 - c^2\) 。
根据方程有 \(-a \leq x \leq a,-b \leq y \leq b\) 。
离心率为半焦距与半长轴长之比即 \(e = \frac{c}{a}\) 。
由于 \(b^2 = a^2 - c^2 > 0\) 有 \(a > b\) 即 \(0 < e = \frac{c}{a} < 1\) 。离心率 e 越趋近 1 椭圆越与圆接近。
焦半径: \(r_左 = a+ex_0,r_右 = a-ex_0\) 。
焦点三角形面积公式 : \(S = b^2tan\frac{\theta}{2}\)
点差法： 对于与椭圆相交，斜率为 k 的直线，设两交点分别为 A 、B ，AB 中点为 M ，有 \(k \cdot k_{OM} = -\frac{b^2}{a^2}\)
过椭圆上 \((x_0,y_0)\) 的切线方程 ： \(\frac{xx_0}{a^2} + \frac{yy_0}{b^2} = 1\)
弦长公式 ： \(|AB| = \sqrt{1+k^2} (x_2-x_1) = \sqrt{1+k^2} \cdot \frac{\sqrt \Delta}{|A|}\)
双曲线
平面内有两个定点 \(F_1,F_2\) ，\(a\) 是一个常数。有 \(| |PF_1| - |PF_2| | = 2a\) 成立，那么 P 的轨迹称为双曲线，\(F_1,F_2\) 是双曲线的焦点，\(|F_1F_2|\) 是双曲线的焦距。
标准方程为 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) 。其中有 \(c^2 - a^2 = b^2\) 。
根据方程有 \(x \leq -a\) 或 \(x \geq a\) 。
双曲线会逐渐渐进与直线 \(y = \frac{b}{a} x = \sqrt{e^2 - 1} x\) 。e 是离心率 \(e = \frac{c}{a} > 1\) 。
\(e = \frac{c}{a} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{a^2}}\) 。
抛物线
形式：\(y^2 = 2px\) ，焦点 \((\frac{p}{2},0)\) ， 准线 \(x = -\frac{p}{2}\) 。曲线上点到准线与焦点距离相等。
焦点弦交曲线与 \(A,B\) 两点，（A 在 B 右上） 。\(|FA| = \frac{p}{1-\cos \alpha} , |FB| = \frac{p}{1+\cos \alpha}\) , 其中 \(\alpha\) 为焦点弦倾斜角。\(|AB| = x_1 + x_2 + p = \frac{2p}{\sin^2\alpha}\) , \(\frac{1}{|AF|} + \frac{1}{|BF|} = \frac{2}{p}\) 。
点差法：\(k_{AB} = \frac{2p}{y_1+y_2} = \frac{p}{y_0}\)
