20210525模拟赛总结

似乎是17年YXD学姐时候的模拟赛？当时现场考过那场的大佬就坐在我旁边，瑟瑟发抖ing……

T1似乎可以枚举n的质因数来考虑，处理出对于 2m 个数，选多少个该质因数进去，算出这些的方案数，使用dp实现。

对于n=100，m=3的部分分，发现乘积最大只有 \(10^6\) ，可以考虑dp。当枚举到i，看i的最小的质因数是否在n中出现过，在i中出现了多少次，算出这部分贡献，与去掉i的部分乘到一起即可。

对于正解，设乘机为 X，那么有三种情况：\(X=n^m\)，\(X > n^m\)，\(X < n^m\)。

可以发现对于所有的 \(X<n^m\) ，将所有的 \(x_i\) 取 \(\frac{n}{x_i}\) ,可以得到 \(X' = \frac{n^{2m}}{X} > X\)，发现一一对应。

设s1种方案 \(X<n^m\) ，s2种方案 \(X=n^m\) ，s3种方案 \(X>n^m\) 。可以发现 s1 = s3，于是 \(s1 = \frac{d(n)^m - s2}{2}\)

对于每个质因数分别讨论贡献，dp即可。

T2考虑乱搞，每次找出最长的上升或下降子序列删掉。使用树状数组在 \(O(nlogn)\) 维护最长上升或下降子序列。使用并查集优化掉被删除的元素。简单卡卡常还是能过的。然后猜的结论是对的就非常香。

T3

我们设 \(x_1 = \frac{\sqrt 5 + 1}{2},x_2 = \frac{1 - \sqrt 5}{2}\) .

容易发现 \(x_1^n + x_2^n \in N^+\) ,可以知道 \(\left\lfloor x_1^n \right\rfloor = x_1^n + x^n_2 - [n \bmod 2]\)

发现 x1，x2 是方程 \(x^2 = x + 1\) 的解，可以得到 \(x^n = x^{n-1} + x^{n-2} = x^{n-1} + x^{n-2} + (x^{n-2} - x^{n-3} - x^{n-4})\) 。

设 \(a_n = \left\lfloor x_1^n \right\rfloor\) ，考虑式子 \(a_{n-1} + 2a_{n-2} - a_{n-3} - a_{n-4}\) ，带入后可以得到 \(a_n = a_{n-1} + 2a_{n-2} - a_{n-3} - a_{n-4}\) 。

菜菜学不明白数学题www