20201023模拟赛总结

T1

DP

T2

头一次在比赛中做出来数论题qwq

写完 T1 看 T2 ，看见是数学题直接自闭。看完 T3 T4 发现后面的题更自闭滚回来看 T2 。

首先试图定义 dp[i][j][k] 为比了 \(i\) 场，平了 \(j\) 场，赢了 \(k\) 场的期望得分，然后发现数据范围 \(n \leq 2000\) 给自己期望一个 \(0pts\) ，当场自闭。

又试图搞别的方法，定义 f[i][j] 为比了 i 场，平了 j 场的概率，g[i][j] 为在非平局的 i 场中获胜 j 场的概率，那么可以推出当平了 i 场的时候对答案的贡献是 \((i+1)\times f_i \times \sum\limits_{j>n-i-j}g_{n-i,j}\) ，最终答案即为 \(\sum\limits_{i=0}^n \left[(i+1)\times f_i \times \sum\limits_{j>n-i-j}g_{n-i,j}\right]\) 。

在推 \(f\) 和 \(g\) 的递推式的时候发现好复杂，又逐渐自闭……

我们可以找到直接推出 \(f_{i,j}\) 的方法 : \(f_{i,j} = C_i^j\times\left(\frac{p}{p+2}\right)^j \times \left(\frac{2}{p+2}\right)^{i-j}\)

但是发现 \(g\) 的式子并不是很好推，然而突然发现这里两个人获胜的概率是相同的，因此可以想到一个人赢比输少与输比赢少的概率应当是相同的，要注意当 \(2\mid i\) 的时候，可以出现输赢次数相同的情况，我们将这种情况的概率减掉再除以二，其余情况直接返回 \(\frac{1}{2}\) 即可。

我们只需要枚举平局的数量，即可线性求出答案。

code：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ll long long
#define prev Prev
using namespace std;

int read()
{
	int a = 0,x = 1;char ch = getchar();
	while(ch > '9' || ch < '0') {if(ch == '-') x = -1;ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9') {a = a*10 + ch-'0';ch = getchar();}
	return a*x;
}

const int N=3e6+7,P=998244353;

int n,p;
ll prev;
ll tmp[N],rev[N];

ll fpow(ll a,ll x)
{
	if(x == 1) return a;
	if(x == 0) return 1;
	ll t = fpow(a,x/2);
	if(x&1) return t*t%P*a%P;
	else return t*t%P;
}
ll f[N],g[N],h[N];
inline ll C(int a,int b) {return b?tmp[a]*rev[b]%P*rev[a-b]%P:1;}
inline ll F(int i,int j) {return C(i,j)*f[j]%P*g[i-j]%P;}
inline ll G(int x)
{
	if(!x) return 0;
	if(x&1) return rev[2];
	else return (1-C(x,x/2)*h[x]%P+P)%P*rev[2]%P;
}

int main()
{
	freopen("fight.in","r",stdin);
	freopen("fight.out","w",stdout);
	n = read(),p = read();
	prev = fpow(p+2,P-2);
	tmp[0] = rev[0] = f[0] = g[0] = h[0] = rev[1] = 1;
	for(register int i = 2;i <= n;i ++) {rev[i] = (P-P/i)*rev[P%i];if(rev[i]>P) rev[i]%=P;}
	for(register int i = 1;i <= n;i ++) {tmp[i] = tmp[i-1]*i;rev[i] = rev[i-1]*rev[i];if(tmp[i]>P)tmp[i]%=P;if(rev[i]>P)rev[i]%=P;}
	for(register int i = 1;i <= n;i ++) {
		f[i] = f[i-1]*p%P*prev%P;
		g[i] = g[i-1]*2%P*prev%P;
		h[i] = h[i-1]*rev[2]%P;
	}
	ll ans = 0;
	for(register int i = 0;i <= n;i ++) {
		ans = (ans+F(n,i)*G(n-i)%P*(i+1)%P)%P;
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}