Nim游戏

例：

我们拥有 \(n\) 堆石子，每次可以选择一堆石子，从中取走至少一颗石子。规定两个人轮流取石子，取走最后一枚石子的人是获胜者。

结论 ： 当且仅当 \(a_1\oplus a_2\oplus\dots\oplus a_{n-1}\oplus a_n\ =\ 0\) 时，先手必输，否则先手必胜。

有两条结论可以帮助我们理解证明这个结论：

当 \(a_1\oplus a_2\oplus\dots\oplus a_j\oplus \dots \oplus a_{n-1}\oplus a_n\ =\ 0\) 时，对于 \(\forall j \in \left[ 1,n \right] , \forall a_j' < a_j\) 都有 \(a_1\oplus a_2\oplus\dots\oplus a_j'\oplus \dots \oplus a_{n-1}\oplus a_n\ \neq\ 0\)

当 \(a_1\oplus a_2\oplus\dots\oplus a_j\oplus \dots \oplus a_{n-1}\oplus a_n\ \neq\ 0\) 时，\(\exists j \in \left[1,n\right] , a_j' < a_j\) 使得 \(a_1\oplus a_2\oplus\dots\oplus a_j'\oplus \dots \oplus a_{n-1}\oplus a_n\ =\ 0\)

咕~