Linear Algebra lecture3 note

Matrix multiplication(4 ways!)

Inverse of A

Gauss-Jordan / find inverse of A

 

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Matrix multiplication

1、点积法

2、matrix * column=comb of columns

columns of C are comb of cols of A

3、matrix * row = comb of rows

rows of C are comb of rows of B

4、matrix * matrix=comb of row*col

AB=sum of (cols of A )*(rows of B)

another example:

*5、Block （分块行 * 分块列)

 

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Inverses( Square matrices)

if  inverse of A exits, then

invertible, non-singular

思考如何求此矩阵的逆，矩阵及其逆应满足条件：

设逆矩阵由元素a,b,c,d构成，如图：

以上讨论的都是逆矩阵存在的情况，下面举例讨论逆矩阵不存在的情况（singular case，no inverse),

可以从以下三方面来解释：

1、行列式为0

2、假设A`存在，A中两列向量共线，所以不可能通过线性组合构成单位矩阵，AA`≠I，就没有A`的说法了

3、You can find a vector X with AX=0 (X≠0）

由于AX=0,假设A`存在，等式两边同时乘以A`,A`AX=A`0=0, IX=0,X=0 与 X≠0矛盾，故假设不成立

若矩阵中其中一列对线性组合毫无贡献，则矩阵不可能有逆

 

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Gauss Jordan（solve 2 equations at once)

可得到A的逆矩阵形式为：

解释推导：