[深度学习]多层感知机（MLP）

多层感知机（MLP）

1. 单层感知机

1.1 感知机

线性回归输出的是一个实数，感知机输出的是一个离散的类。

1.2 训练感知机

①如果分类正确的话y<w,x>为正数，负号后变为一个正数，和$0$取$max$之后得$0$，则梯度不进行更新

②如果分类错了，y<w,x>为负数，
的判断条件成立，就进行梯度更新。

图示：

1.3 收敛半径

1.4 XOR问题

1.5 总结

• 感知机是一个二分类模型，是最早的AI模型之一
• 它的求解方法等价于使用批量大小为1的梯度下降
• 它不能拟合XOR函数，导致的第一次AI寒冬

2.多层感知机

2.1 学习XOR函数

我们发现单层感知机不能拟合XOR函数，那么多层行不行呢？

2.2 什么是多层感知机

多层感知机（MLP，Multilayer Perceptron）也叫人工神经网络（ANN，Artificial Neural Network），除了输入输出层，它中间可以有多个隐层，最简单的MLP只含一个隐层，即三层的结构，如下图：

隐藏层的大小是超参数

• 输入$x\in {\mathbb{R}}^n$

• 隐藏层$W_1\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$,$b_1\in {\mathbb{R}}^m$

• 输出层$w_2\in {\mathbb{R}}^m,b_2\in \mathbb{R}$

  $h=\sigma (W_{1}x+b_1)$

  $o=w_2^{T}h+b_2$

$\sigma$是按元素的激活函数

为什么需要非线性激活函数呢？

①不使用激活函数，每一层输出都是上层输入的线性函数，无论神经网络有多少层，输出都是输入的线性组合。

②使用激活函数，能够给神经元引入非线性因素，使得神经网络可以任意逼近任何非线性函数，这样神经网络就可以利用到更多的非线性模型中。

2.3 常见激活函数

激活函数需要具备以下几点性质:

1. 连续并可导（允许少数点上不可导）的非线性函数。可导的激活函数可以直接利用数值优化的方法来学习网络参数。
2. 激活函数及其导函数要尽可能的简单，有利于提高网络计算效率。
3. 激活函数的导函数的值域要在一个合适的区间内，不能太大也不能太小，否则会影响训练的效率和稳定性。

Sigmoid（Logistic） 函数

with autograd.record():
    y = x.sigmoid()
xyplot(x, y, 'sigmoid')

依据链式法则，sigmoid函数的导数为

$$sigmoi{d}^{\prime }(x)=sigmoid(x)(1-sigmoid(x))$$

下面绘制了sigmoid函数的导数。当输入为0时，sigmoid函数的导数达到最大值0.25；当输入越偏离0时，sigmoid函数的导数越接近0。

y.backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of sigmoid')

Tanh 函数

with autograd.record():
    y = x.tanh()
xyplot(x, y, 'tanh')

依据链式法则，tanh函数的导数为:

$$tan{h}^{\prime }(x)=1-tan{h}^2(x)$$

下面绘制了tanh函数的导数。当输入为0时，tanh函数的导数达到最大值1；当输入越偏离0时，tanh函数的导数越接近0。

y.backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of tanh')

ReLU

x = nd.arange(-8.0, 8.0, 0.1)
x.attach_grad()
with autograd.record():
    y = x.relu()
xyplot(x, y, 'relu')

显然，当输入为负数时，ReLU函数的导数为0；当输入为正数时，ReLU函数的导数为1。尽管输入为0时ReLU函数不可导，但是我们可以取此处的导数为0。下面绘制ReLU函数的导数。

y.backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of relu')

2.4 多分类问题

多隐藏层

2.5 总结

• 多层感知机使用隐藏层和激活函数来得到非线性模型
• 常用激活函数是Sigmoid，Tanh，ReLU
• 使用Softmax来处理多分类问题
• 超参数为隐藏层数和各个隐藏层大小

3.多层感知机实现代码

自定义实现

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l
 
batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)
 
# 实现一个具有单隐藏层的多层感知机，它包含256个隐藏单元
num_inputs, num_outputs, num_hiddens = 784, 10, 256 # 输入、输出是数据决定的，256是调参自己决定的
W1 = nn.Parameter(torch.randn(num_inputs, num_hiddens, requires_grad=True))
b1 = nn.Parameter(torch.zeros(num_hiddens, requires_grad=True))
W2 = nn.Parameter(torch.randn(num_hiddens, num_outputs, requires_grad=True))
b2 = nn.Parameter(torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True))
params = [W1,b1,W2,b2]
 
# 实现 ReLu 激活函数
def relu(X):
    a = torch.zeros_like(X) # 数据类型、形状都一样，但是值全为 0
    return torch.max(X,a)
 
# 实现模型a
def net(X):
    #print("X.shape:",X.shape)
    X = X.reshape((-1, num_inputs)) # -1为自适应的批量大小
    #print("X.shape:",X.shape)
    H = relu(X @ W1 + b1)
    #print("H.shape:",H.shape)
    #print("W2.shape:",W2.shape)
    return (H @ W2 + b2)
 
 
# 损失
loss = nn.CrossEntropyLoss() # 交叉熵损失
 
# 多层感知机的训练过程与softmax回归的训练过程完全一样
num_epochs ,lr = 30, 0.1
updater = torch.optim.SGD(params, lr=lr)
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, updater)

注意，这里我们把上节$Softmax$的代码加入到$d2l$里面啦。这样就可以直接调用啦。

具体方法：

pip show d2l

然后我们在相应的路径下面找到d2l的文件夹，打开后找到torch文件。打开后在最下面添加相应的函数定义即可。

train_epoch_ch3函数：

def train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater):  #@save
    """训练模型一个迭代周期（定义见第3章）"""
    # 将模型设置为训练模式
    if isinstance(net, torch.nn.Module): # isinstance()用来判断一个对象是否是一个已知的类型
        net.train()
    # 训练损失总和、训练准确度总和、样本数
    metric = Accumulator(3)
    for X, y in train_iter:
        # 计算梯度并更新参数
        y_hat = net(X)
        l = loss(y_hat, y)
        if isinstance(updater, torch.optim.Optimizer):
            # 使用PyTorch内置的优化器和损失函数
            updater.zero_grad()
            l.mean().backward()
            updater.step()
        else:
            # 使用定制的优化器和损失函数
            l.sum().backward()
            updater(X.shape[0])
        metric.add(float(l.sum()), accuracy(y_hat, y), y.numel())
    # 返回训练损失和训练精度
    return metric[0] / metric[2], metric[1] / metric[2]

evaluate_accuracy函数：

def evaluate_accuracy(net, data_iter):  #@save
    """计算在指定数据集上模型的精度"""
    if isinstance(net, torch.nn.Module):
        net.eval()  # 将模型设置为评估模式
    metric = Accumulator(2)  # 正确预测数、预测总数
    with torch.no_grad():
        for X, y in data_iter:
            metric.add(accuracy(net(X), y), y.numel())
    return metric[0] / metric[1]

train_ch3函数：

def train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, updater):  #@save
    #该训练函数将会运行多个迭代周期（由num_epochs指定）。 在每个迭代周期结束时，利用test_iter访问到的测试数据集对模型进行评估。 
    #我们将利用Animator类来可视化训练进度。
    """训练模型（定义见第3章）"""
    animator = Animator(xlabel='epoch', xlim=[1, num_epochs], ylim=[0.3, 0.9],
                        legend=['train loss', 'train acc', 'test acc'])
    for epoch in range(num_epochs):
        train_metrics = train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater)
        test_acc = evaluate_accuracy(net, test_iter)
        animator.add(epoch + 1, train_metrics + (test_acc,))
    train_loss, train_acc = train_metrics
    assert train_loss < 0.5, train_loss
    assert train_acc <= 1 and train_acc > 0.7, train_acc
    assert test_acc <= 1 and test_acc > 0.7, test_acc

框架实现

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l
 
# 隐藏层包含256个隐藏单元，并使用了ReLU激活函数
net = nn.Sequential(nn.Flatten(),nn.Linear(784,256),nn.ReLU(),nn.Linear(256,10))
 
def init_weights(m):
    if type(m) == nn.Linear:
        nn.init.normal_(m.weight,std=0,)
        
net.apply(init_weights)
 
# 训练过程
batch_size, lr, num_epochs = 256, 0.1, 10
loss = nn.CrossEntropyLoss()
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=lr)
 
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)

参考：https://github.com/d2l-ai/d2l-zh-pytorch-slides