[深度学习]$Softmax$回归、损失函数、分类

1、$Softmax$回归模型

$Softmax$回归虽然它的名字是回归，其实它是一个分类问题。

$Softmax$回归跟线性回归一样将输入特征与权值做线性叠加。与线性回归主要不同的在于：$Softmax$回归的输出值个数等于标签里的类别数。

比如一共有4种特征和3种输出动物类别(狗、猫、鸡），则权重包含12个标量（带下标的$w$）、偏差包含3个标量（带下标的$b$），且对每个输入计算$o_1,o_2,o_3$这$3$个输出：
$o_1 = x_1w_{11} + x_2w_{21}+x_3w_{31}+x_4w_{41}+b_1,$

$o_2 = x_1w_{12} + x_2w_{22}+x_3w_{32}+x_4w_{42}+b_2,$

$o_2 = x_1w_{13} + x_2w_{23}+x_3w_{33}+x_4w_{43}+b_3,$

最后，在对这些输出值进行$Softmax$函数运算。

$Softmax$回归同线性回归一样，也是一个单层神经网络。由于每个输出$o_1,o_2,o_3$的计算都要依赖于所有的输入$x_1,x_2,x_3,x_4$。所以$Softmax$回归的输出层也是一个全连接层。

2、$Softmax$函数

$Softmax$用于多分类过程中，它将多个神经元的输出(比如$o_1,o_2,o_3$）映射到$(0,1)$区间内，可以看成概率来理解从而来进行多分类。

它们通过下式将输出值变成值为正数且和为$1$的概率分布。

\[\hat{y_1},\hat{y_2},\hat{y_3} = softmax(o_1,o_2,o_3) \]

其中：

\[\hat{y_1}= \dfrac{\exp(o_1)}{\sum_{i = 1}^{3}\exp(o_i)},\hat{y_2}= \dfrac{\exp(o_2)}{\sum_{i = 1}^{3}\exp(o_i)},\hat{y_3}= \dfrac{\exp(o_3)}{\sum_{i = 1}^{3}\exp(o_i)}, \]

容易看出$\hat{y_1}+\hat{y_2}+\hat{y_3} = 1$且$0\le\hat{y_1},\hat{y_1},\hat{y_1}\le1$，因此$\hat{y}_1,\hat{y}_2,\hat{y}_3$是一个合法的概率分布。这时候如果$\hat{y}_2 = 0.8$，则不管$\hat{y}_1$和$\hat{y}_3$的值是多少，我们都知道图像类别为猫的概率是$80\%$。
$argmax (o_i) = argmax(\hat{y}_i)$
尽管$o_i$的原始值和$\hat{y}_i$的概率值不同，但是$softmax$函数的单调性保证了不会改变原始最大值的索引。这意味着，无论是$softmax$变换前后，最大的输入$o_i$的索引，都对应于最大概率$\hat{y}_i$的索引。

因此，如果你在未经$softmax$变换的输出$o$上找到了最大的索引，那么经过$softmax$变换后，概率的最高值的索引仍然是不变的。

3.$Softmax回归的决策函数$

$softmax$回归的决策函数是基于$softmax$函数和模型参数来进行分类决策的方法。$softmax$回归通常用于多分类问题，其中样本可能属于两个以上的类别。决策函数的核心是计算每个类别的得分，然后将样本分配给得分最高的那个类别。

线性函数：$o = Wx + b$，这个函数给出每个类别的元素得分(也称$logits$)

\[W = \left[ \begin{matrix} w_{11} & w_{12} & w_{13} & w_{14}\\ w_{21} & w_{22} & w_{23} & w_{24} \\ w_{31} & w_{32} & w_{33} & w_{34} \end{matrix} \right] ,b = \left[ \begin{matrix} b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix} \right] \]

设高和宽分别为2个像素样本$i$的特征为

\[x^{(i)} = \left[ \begin{matrix} x^{(i)}_{1} & x^{(i)}_{2} & x^{(i)}_{3} & x^{(i)}_{4}\\ \end{matrix} \right], \]

则输出层的输出为：

\[o^{(i)} = \left[ \begin{matrix} o^{(i)}_{1} & o^{(i)}_{2} & o^{(i)}_{3}\\ \end{matrix} \right], \]

预测狗、猫、鸡的概率分布为：

\[\hat{y}^{(i)}= \left[ \begin{matrix} \hat{y}^{(i)}_{1} & \hat{y}^{(i)}_{2} & \hat{y}^{(i)}_{3}\\ \end{matrix} \right], \]

那么总结一下$Softmax$回归对样本$i$分类的矢量计算就是：

\[o^{(i)} = X^{(i)}W^{T} + b\\ \hat{y}^{(i)} = softmax(o^{(i)}) = \dfrac{\exp(o_i)}{\sum_{j = 1}^{n}\exp(o_j)} \]

则$Softmax$回归的决策函数可以表示为:

\[\hat{y} = argmax(\hat{y}^{(i)}) \]

4、参数估计

4.1 交叉熵损失函数（用于分类问题）

在使用$softmax$函数进行多分类问题时，常用的损失函数是交叉熵损失(Cross-Entropy Loss)。这种损失函数可以衡量真实概率分布和预测概率分布之间的差异。

对于单个样本和多分类问题，交叉熵损失函数定义如下：
$ L(y,\hat{y}) = -\sum_{i = 1}^C y_i \log(\hat{y}_i) $
其中：

$C$是类别的总数
$y$是一个$one-hot$编码的向量。表示真实的标签。在这个向量中，正确类别的索引处的值为1，其余为0。这意味着，交叉熵损失只计算真实类别对应的预测概率的负对数。如果模型对真实类别非常有信心，即其预测概率$\hat{y}_i$接近于1，那么损失将接近于零。相反，如果模型对真实类别的预测概率很低，损失将会很高。
$\hat{y}$是模型的输出，即在$softmax$函数后得到的预测概率分布，也是一个长度为$C$的向量，每个元素$\hat{y}_i$代表模型预测样本属于第$i$个类别的概率。

这个损失函数将真实标签的概率乘以预测概率的负对数。由于是one-hot编码的，所以除了实际类别对应的项，其他项都会是零，不会对损失函数的求和有贡献。这意味着损失函数实质上简化为：

\[L(y,\hat{y}) = -\log(\hat{y}_k) \]

这里的$k$的真实类别的索引。

对于所有训练样本的平均交叉熵损失计算如下：

假设你有一个由$m$个样本组成的数据集，$C$是类别总数，$y^{(i)}$是第个$i$样本的真实标签（通常是one-hot编码形式），$\hat{y}^{(i)}$是模型对第$i$个样本的预测概率。那么整个数据集的平均交叉熵损失可以通过下面的公式计算：
$L(y,\hat{y}) = -\sum_{i = 1}^C y_i \log(\hat{y}_i)= -\log(\hat{y}_k),$
$J(W) = \dfrac{1}{m}\sum_{i = 1}^{m}L(y^{(i)},\hat{y}^{(i)})= -\dfrac{1}{m}\sum_{i = 1}^{m}\sum_{j = 1}^{C}y^{(i)}_j\log (\hat{y}^{(i)}_j)$

这里：

$J(W)$表示关于模型权重的代价函数,$W$包含了权重和偏置
$m$是样本的总数。
$y^{(i)}_j$是真实标签的第$j$个元素，针对第$i$个样本。如果第个$i$样本的真实类别是$j$，就是1，否则是0。
$\hat{y}^{(i)}_j$是模型预测出的第$i$个样本属于类别的概率。
$C$是类别的总数。
外层的求和$\sum_{i = 1}^{m}$是对所有训练样本进行遍历。
内层的求和$\sum_{j = 1}^{C}$是对所有类别进行遍历。
$k$代表的是正确类别的索引

注意：

对于单个样本，交叉熵损失函数定义为：

\[L(y,\hat{y}) = -\sum_{i = 1}^C y_i \log(\hat{y}_i) \]

而对于所有训练样本的平均损失定义为：

\[J(W) = \frac{1}{m}\sum_{i = 1}^{m}L(y^{(i)}, \hat{y}^{(i)}) = -\frac{1}{m}\sum_{i = 1}^{m}\sum_{j = 1}^{C}y_j^{(i)}\log(\hat{y}_j^{(i)}) \]

这个平均损失$J(W)$考虑了所有样本的损失，并且不能进一步简化为只包含一个类别索引$k$ ，因为它必须对数据集中所有可能的类别组合进行求和。

4.2 均方误差损失函数（用于回归问题)

对于单个样本$(x^{(i)},y^{(i)})$，模型的输出$\hat{y}^{(i)}$就是输入特征$x^{(i)}$和权重$W$的点积，即$\hat{y}^{(i)} = W^Tx^{(i)}$。

假设我们有一个线性回归模型，损失函数$J(W)$是计算所以样本上的预测误差的平均值，使用均方误差，损失函数如下：

\[J(W) = \dfrac{1}{2m}\sum_{i = 1}^{m}(\hat{y}^{(i)}-y^{(i)})^2 \]

为什么是均方误差的一半？这只是为了在求导时可以抵消掉系数2，简化计算过程。

\[\dfrac{\partial J(W)}{\partial W} =\dfrac{\partial}{\partial W}(\dfrac{1}{2m}\sum_{i = 1}^{m}(\hat{y}^{(i)}-y^{(i)})^2) \]

应用链式法则，我们首先对内部进行求导（关于预测$\hat{y}^{(i)}$ 的偏导数）:

\[\frac{\partial J(W)}{\partial \hat{y}^{(i)}} = \frac{\partial}{\partial \hat{y}^{(i)}} \left( \frac{1}{2m} (\hat{y}^{(i)} - y^{(i)})^2 \right) = \frac{1}{m} (\hat{y}^{(i)} - y^{(i)}) \]

接下来，由于$ ( \hat{y}^{(i)} = W^T x^{(i)})$,我们计算 $\hat{y}^{(i)} $关于 $W $的偏导数：

\[ \frac{\partial \hat{y}^{(i)}}{\partial W} = \frac{\partial}{\partial W} (W^T x^{(i)}) = x^{(i)} \]

利用链式法则，结合上面的两个偏导数，我们可以得到梯度如下：

\[ \frac{\partial J(W)}{\partial W} = \frac{\partial J(W)}{\partial \hat{y}^{(i)}} \cdot \frac{\partial \hat{y}^{(i)}}{\partial W} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} (\hat{y}^{(i)} - y^{(i)}) x^{(i)} \]

考虑到梯度下降的方向是损失函数减少的方向，我们取上式的负值：

\[\nabla_W J(W) = -\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} x^{(i)} (\hat{y}^{(i)} - y^{(i)}) \]

这就是参数 $W$对损失函数$J(W)$梯度的推导过程。

5.$Softmax$回归的从零开始实现

我们将使用Fashion-MNIST数据集【简介】，进行图像多分类问题。

$Step0$:导包

import torch
from IPython import display
from d2l import torch as d2l

$Step1$:读取数据集

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)

① 将展平每个图像，将它们视为长度784的向量。向量的每个元素与w相乘，所以w也需要784行。

② 因为数据集有10个类别，所以网络输出维度为10.

$Step2:$初始化模型参数

将展平每个图像，把它们看作长度为$784$的向量(已知每一个输入是高和宽均为$28$像素的图像，模型的输入向量的长度是$28\times 28 = 784$)。因为我们的数据集有$10$个类别，所以网络输出维度为$10$。

因此softmax回归的权重和偏差参数分别为$784 × 10 和1 × 10$的矩阵。

num_inputs = 784
num_outputs = 10
# 随机初始化参数，均值为0，方差为0.01，形状，并为模型参数附上梯度
W = torch.normal(0, 0.01, size=(num_inputs, num_outputs), requires_grad=True)
b = torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True)

$Step3:$定义$Softmax$函数

\[softmax(X)_{ij} = \dfrac{\exp(X_{ij})}{\sum_{k}\exp(X_{ik})} \]

def softmax(X):
    X_exp = torch.exp(X) # 每个都进行指数运算
    partition = X_exp.sum(1, keepdim=True)# 按维度1(行)求和，结果为列向量
    return X_exp / partition # 这里应用了广播机制

我们将每个元素变成一个非负数。此外，依据概率原理，每行总和为1

$Step4$:实现$softmax$回归模型

def net(X):
    return softmax(torch.matmul(X.reshape((-1, W.shape[0])), W) + b)#-1为默认的批量大小，表示有多少个图片，每个图片用一维的784列个元素表示,即X被reshape为256*784形状的矩阵 ，并且行和为1

$Step5:$实现交叉熵损失函数

① 创建一个数据y_hat，其中包含2个样本在3个类别的预测概率，使用y作为y_hat中概率的索引。

y = torch.tensor([0,2]) # 标号索引
y_hat = torch.tensor([[0.1,0.3,0.6],[0.3,0.2,0.5]]) # 两个样本在3个类别的预测概率   
y_hat[[0,1],y] # 把第0个样本对应标号"0"的预测值拿出来、第1个样本对应标号"2"的预测值拿出来，比如这里就是拿出y_hat[0][y[0]] = 0.1 和 y_hat[1][y[1]] = 0.5

⑧ 实现交叉熵损失函数。

def cross_entropy(y_hat, y):
    return -torch.log(y_hat[range(len(y_hat)), y])

$Step6:$计算分类准确率

给定一个类别的预测概率分布y_hat，我们把预测概率最大的类别作为输出类别。如果它与真实类别y一致，说明这次预测是正确的。分类准确率即正确预测数量与总预测数量之比。

为了演示准确率的计算，下面定义准确率accuracy函数。其中y_hat.argmax(axis=1)返回矩阵y_hat每行中最大元素的索引，且返回结果与变量y形状相同。相等条件判别式(y_hat.argmax(axis=1) == y)是一个类型为ByteTensor的Tensor,我们用float()将其转换为值为0（相等为假）或1（相等为真）的浮点型Tensor。

将预测类别与真实y元素进行比较

def accuracy(y_hat,y):
    """计算预测正确的数量"""
    if len(y_hat.shape) > 1 and y_hat.shape[1] > 1: # y_hat.shape[1]>1表示不止一个类别，每个类别有各自的概率   
        y_hat = y_hat.argmax(axis=1) # y_hat.argmax(axis=1)为求行最大值的索引(最大的作为预测)
    cmp = y_hat.type(y.dtype) == y # 先判断逻辑运算符==，再赋值给cmp，cmp为布尔类型的数据
    return float(cmp.type(y.dtype).sum()) # 获得y.dtype的类型作为传入参数，将cmp的类型转为y的类型（int型），然后再求和

$Step7:$评价任意模型net在数据集data_iter上的准确率。

# 可以评估在任意模型net的准确率
def evaluate_accuracy(net,data_iter):
    """计算在指定数据集上模型的精度"""
    if isinstance(net,torch.nn.Module): # 如果net模型是torch.nn.Module实现的神经网络的话，将它变成评估模式 
        net.eval()  # 将模型设置为评估模式
    metric = Accumulator(2) # 正确预测数、预测总数，metric为累加器的实例化对象，里面存了两个数
    for X, y in data_iter:
        metric.add(accuracy(net(X),y),y.numel()) # net(X)将X输入模型，获得预测值。y.numel()为样本总数
    return metric[0] / metric[1] # 分类正确的样本数 / 总样本数

$Accumulator$的实现

# Accumulator实例中创建了2个变量，用于分别存储正确预测的数量和预测的总数量
class Accumulator:
    """在n个变量上累加"""
    def __init__(self,n):
        self.data = [0,0] * n
        
    def add(self, *args):
        self.data = [a+float(b) for a,b in zip(self.data,args)] # zip函数把两个列表第一个位置元素打包、第二个位置元素打包....
        
    def reset(self):
        self.data = [0.0] * len(self.data)
        
    def __getitem__(self,idx):
        return self.data[idx]

$Step8:$训练模型

$Softmax$回归的训练

# 训练函数
def train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater):
    if isinstance(net, torch.nn.Module):
        net.train() # 开启训练模式
    metric = Accumulator(3)
    for X, y in train_iter:
        y_hat = net(X)
        l = loss(y_hat,y) # 计算损失
        if isinstance(updater, torch.optim.Optimizer): # 如果updater是pytorch的优化器的话
            updater.zero_grad() # 梯度置0
            l.backward() # 计算梯度
            updater.step() # 参数自更新
            metric.add(float(l)*len(y),accuracy(y_hat,y),y.size().numel()) # 总的训练损失、样本正确数、样本总数   
        else:
            l.sum().backward()
            updater(X.shape[0])
            metric.add(float(l.sum()),accuracy(y_hat,y),y.numel()) 
    return metric[0] / metric[2], metric[1] / metric[2] # 所有loss累加除以样本总数，总的正确个数除以样本总数

动画绘制(辅助函数)

class Animator:
    def __init__(self, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,
                ylim=None, xscale='linear',yscale='linear',
                fmts=('-','m--','g-.','r:'),nrows=1,ncols=1,
                figsize=(3.5,2.5)): 
        if legend is None:
            legend = []
        d2l.use_svg_display()
        self.fig, self.axes = d2l.plt.subplots(nrows,ncols,figsize=figsize)
        if nrows * ncols == 1:
            self.axes = [self.axes,]
        self.config_axes = lambda: d2l.set_axes(self.axes[0],xlabel,ylabel,xlim,ylim,xscale,yscale,legend)         
        self.X, self.Y, self.fmts = None, None, fmts
        
    def add(self, x, y):
        if not hasattr(y, "__len__"):
            y = [y]
        n = len(y)
        if not hasattr(x, "__len__"):
            x = [x] * n
        if not self.X:
            self.X = [[] for _ in range(n)] 
        if not self.Y:
            self.Y = [[] for _ in range(n)]
        for i, (a,b) in enumerate(zip(x,y)):
            if a is not None and b is not None:
                self.X[i].append(a)
                self.Y[i].append(b)
        self.axes[0].cla()
        for x, y, fmt in zip(self.X, self.Y, self.fmts):
            self.axes[0].plot(x, y, fmt)
        self.config_axes()
        display.display(self.fig)
        display.clear_output(wait=True)

总训练函数

def train_ch3(net,train_iter,test_iter,loss,num_epochs,updater):
    animator = Animator(xlabel='epoch',xlim=[1,num_epochs],ylim=[0.3,0.9],       
                       legend=['train loss','train acc','test acc'])# 可视化
    for epoch in range(num_epochs):  # 变量num_epochs遍数据
        train_metrics = train_epoch_ch3(net,train_iter,loss,updater) # 返回两个值，一个总损失、一个总正确率
        test_acc = evaluate_accuracy(net, test_iter) # 测试数据集上评估精度，仅返回一个值，总正确率  
        animator.add(epoch+1,train_metrics+(test_acc,)) # train_metrics+(test_acc,) 仅将两个值的正确率相加，
    train_loss, train_acc = train_metrics
    
 lr = 0.1
 def updater(batch_size):
	return d2l.sgd([W,b], lr, batch_size)

$Step9:$预测

def predict_ch3(net,test_iter,n=6):
    for X, y in test_iter: 
        break # 仅拿出一批六个数据
    trues = d2l.get_fashion_mnist_labels(y)
    preds = d2l.get_fashion_mnist_labels(net(X).argmax(axis=1))
    titles = [true + '\n' + pred for true, pred in zip(trues,preds)]
    d2l.show_images(X[0:n].reshape((n,28,28)),1,n,titles=titles[0:n])
    
predict_ch3(net,test_iter)

5.$Softmax$回归的简洁实现(使用框架)

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)

# Softmax回归的输出是一个全连接层
# PyTorch不会隐式地调整输入的形状
# 因此，我们定义了展平层(flatten)在线性层前调整网络输入的形状
net = nn.Sequential(nn.Flatten(),nn.Linear(784,10))

def init_weights(m):
    if type(m) == nn.Linear:
        nn.init.normal_(m.weight, std=0.01) # 均值为0(默认)，方差为0.01的随机值

net.apply(init_weights)
print(net.apply(init_weights)) # net网络的参数用的是init_weights初始化参数

# 在交叉熵损失函数中传递未归一化的预测，并同时计算softmax及其对数
loss = nn.CrossEntropyLoss()
# 使用学习率为0.1的小批量随即梯度下降作为优化算法
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(),lr=0.1)

num_epochs = 10
train_ch3(net,train_iter,test_iter,loss,num_epochs,trainer)

参考：

posted on 2024-04-07 22:30 nannandbk 阅读(484) 评论(1) 编辑收藏举报

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[深度学习]\(Softmax\)回归、损失函数、分类

1、\(Softmax\)回归模型

2、\(Softmax\)函数

3.\(Softmax回归的决策函数\)

4、参数估计

4.1 交叉熵损失函数（用于分类问题）

4.2 均方误差损失函数（用于回归问题)

5.\(Softmax\)回归的从零开始实现

\(Step0\):导包

\(Step1\):读取数据集

\(Step2:\)初始化模型参数

\(Step3:\)定义\(Softmax\)函数

\(Step4\):实现\(softmax\)回归模型

\(Step5:\)实现交叉熵损失函数

\(Step6:\)计算分类准确率

\(Step7:\)评价任意模型net在数据集data_iter上的准确率。

\(Step8:\)训练模型

\(Softmax\)回归的训练

动画绘制(辅助函数)

总训练函数

\(Step9:\)预测

5.\(Softmax\)回归的简洁实现(使用框架)