[深度学习]Softmax回归、损失函数、分类

[深度学习]$Softmax$回归、损失函数、分类

1、$Softmax$回归模型

$Softmax$回归虽然它的名字是回归，其实它是一个分类问题。

$Softmax$回归跟线性回归一样将输入特征与权值做线性叠加。与线性回归主要不同的在于：$Softmax$回归的输出值个数等于标签里的类别数。

比如一共有4种特征和3种输出动物类别(狗、猫、鸡），则权重包含12个标量（带下标的$w$）、偏差包含3个标量（带下标的$b$），且对每个输入计算$o_1,o_2,o_3$这$3$个输出：
$o_1=x_1{w}_{11}+x_2{w}_{21}+x_3{w}_{31}+x_4{w}_{41}+b_1,$

$o_2=x_1{w}_{12}+x_2{w}_{22}+x_3{w}_{32}+x_4{w}_{42}+b_2,$

$o_2=x_1{w}_{13}+x_2{w}_{23}+x_3{w}_{33}+x_4{w}_{43}+b_3,$

最后，在对这些输出值进行$Softmax$函数运算。

$Softmax$回归同线性回归一样，也是一个单层神经网络。由于每个输出$o_1,o_2,o_3$的计算都要依赖于所有的输入$x_1,x_2,x_3,x_4$。所以$Softmax$回归的输出层也是一个全连接层。

2、$Softmax$函数

$Softmax$用于多分类过程中，它将多个神经元的输出(比如$o_1,o_2,o_3$）映射到$(0,1)$区间内，可以看成概率来理解从而来进行多分类。

它们通过下式将输出值变成值为正数且和为$1$的概率分布。

$$\widehat{y_1},\widehat{y_2},\widehat{y_3}=softmax(o_1,o_2,o_3)$$

其中：

$$\widehat{y_1}={\displaystyle \frac{\exp (o_1)}{\sum _{i=1}^3\exp (o_i)}},\widehat{y_2}={\displaystyle \frac{\exp (o_2)}{\sum _{i=1}^3\exp (o_i)}},\widehat{y_3}={\displaystyle \frac{\exp (o_3)}{\sum _{i=1}^3\exp (o_i)}},$$

容易看出$\widehat{y_1}+\widehat{y_2}+\widehat{y_3}=1$且$0\le \widehat{y_1},\widehat{y_1},\widehat{y_1}\le 1$，因此${\hat{y}}_1,{\hat{y}}_2,{\hat{y}}_3$是一个合法的概率分布。这时候如果${\hat{y}}_2=0.8$，则不管${\hat{y}}_1$和${\hat{y}}_3$的值是多少，我们都知道图像类别为猫的概率是$80\mathrm{\%}$。
$argmax(o_i)=argmax({\hat{y}}_i)$
尽管$o_i$的原始值和${\hat{y}}_i$的概率值不同，但是$softmax$函数的单调性保证了不会改变原始最大值的索引。这意味着，无论是$softmax$变换前后，最大的输入$o_i$的索引，都对应于最大概率${\hat{y}}_i$的索引。

因此，如果你在未经$softmax$变换的输出$o$上找到了最大的索引，那么经过$softmax$变换后，概率的最高值的索引仍然是不变的。

3.$Softmax\mathrm{回}\mathrm{归}\mathrm{的}\mathrm{决}\mathrm{策}\mathrm{函}\mathrm{数}$

$softmax$回归的决策函数是基于$softmax$函数和模型参数来进行分类决策的方法。$softmax$回归通常用于多分类问题，其中样本可能属于两个以上的类别。决策函数的核心是计算每个类别的得分，然后将样本分配给得分最高的那个类别。

线性函数：$o=Wx+b$，这个函数给出每个类别的元素得分(也称$logits$)

$$W=\left[\begin{array}{cccc}{w}_{11}& w_{12}& w_{13}& w_{14}\\ w_{21}& w_{22}& w_{23}& w_{24}\\ w_{31}& w_{32}& w_{33}& w_{34}\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{ccc}{b}_1& b_2& b_3\end{array}\right]$$

设高和宽分别为2个像素样本$i$的特征为

$$x^{(i)}=\left[\begin{array}{cccc}{x}_1^{(i)}& x_2^{(i)}& x_3^{(i)}& x_4^{(i)}\end{array}\right],$$

则输出层的输出为：

$$o^{(i)}=\left[\begin{array}{ccc}{o}_1^{(i)}& o_2^{(i)}& o_3^{(i)}\end{array}\right],$$

预测狗、猫、鸡的概率分布为：

$${\hat{y}}^{(i)}=\left[\begin{array}{ccc}{\hat{y}}_1^{(i)}& {\hat{y}}_2^{(i)}& {\hat{y}}_3^{(i)}\end{array}\right],$$

那么总结一下$Softmax$回归对样本$i$分类的矢量计算就是：

$$\begin{gathered} o^{(i)}=X^{(i)}{W}^T+b \\ {\hat{y}}^{(i)}=softmax(o^{(i)})={\displaystyle \frac{\exp (o_i)}{\sum _{j=1}^n\exp (o_j)}} \end{gathered}$$

则$Softmax$回归的决策函数可以表示为:

$$\hat{y}=argmax({\hat{y}}^{(i)})$$

4、参数估计

4.1 交叉熵损失函数（用于分类问题）

在使用$softmax$​函数进行多分类问题时，常用的损失函数是交叉熵损失(Cross-Entropy Loss)。这种损失函数可以衡量真实概率分布和预测概率分布之间的差异。

对于单个样本和多分类问题，交叉熵损失函数定义如下：
$L(y,\hat{y})=-\sum _{i=1}^C{y}_i\log ({\hat{y}}_i)$
其中：

• $C$是类别的总数
• $y$是一个$one-hot$编码的向量。表示真实的标签。在这个向量中，正确类别的索引处的值为1，其余为0。这意味着，交叉熵损失只计算真实类别对应的预测概率的负对数。如果模型对真实类别非常有信心，即其预测概率${\hat{y}}_i$接近于1，那么损失将接近于零。相反，如果模型对真实类别的预测概率很低，损失将会很高。
• $\hat{y}$是模型的输出，即在$softmax$函数后得到的预测概率分布，也是一个长度为$C$的向量，每个元素${\hat{y}}_i$代表模型预测样本属于第$i$个类别的概率。

这个损失函数将真实标签的概率乘以预测概率的负对数。由于是one-hot编码的，所以除了实际类别对应的项，其他项都会是零，不会对损失函数的求和有贡献。这意味着损失函数实质上简化为：

$$L(y,\hat{y})=-\log ({\hat{y}}_k)$$

这里的$k$的真实类别的索引。

对于所有训练样本的平均交叉熵损失计算如下：

假设你有一个由$m$个样本组成的数据集，$C$是类别总数，$y^{(i)}$是第个$i$样本的真实标签（通常是one-hot编码形式），${\hat{y}}^{(i)}$是模型对第$i$个样本的预测概率。那么整个数据集的平均交叉熵损失可以通过下面的公式计算：
$L(y,\hat{y})=-\sum _{i=1}^C{y}_i\log ({\hat{y}}_i)=-\log ({\hat{y}}_k),$
$J(W)={\displaystyle \frac{1}{m}}\sum _{i=1}^{m}L(y^{(i)},{\hat{y}}^{(i)})=-{\displaystyle \frac{1}{m}}\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^C{y}_j^{(i)}\log ({\hat{y}}_j^{(i)})$

这里：

• $J(W)$表示关于模型权重的代价函数,$W$包含了权重和偏置
• $m$是样本的总数。
• $y_j^{(i)}$是真实标签的第$j$个元素，针对第$i$个样本。如果第个$i$样本的真实类别是$j$，就是1，否则是0。
• ${\hat{y}}_j^{(i)}$是模型预测出的第$i$个样本属于类别的概率。
• $C$是类别的总数。
• 外层的求和$\sum _{i=1}^m$是对所有训练样本进行遍历。
• 内层的求和$\sum _{j=1}^C$是对所有类别进行遍历。
• $k$代表的是正确类别的索引

注意：

对于单个样本，交叉熵损失函数定义为：

$$L(y,\hat{y})=-\sum _{i=1}^C{y}_i\log ({\hat{y}}_i)$$

而对于所有训练样本的平均损失定义为 ：

$$J(W)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^{m}L(y^{(i)},{\hat{y}}^{(i)})=-\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^C{y}_j^{(i)}\log ({\hat{y}}_j^{(i)})$$

这个平均损失$J(W)$考虑了所有样本的损失，并且不能进一步简化为只包含一个类别索引$k$ ，因为它必须对数据集中所有可能的类别组合进行求和。

4.2 均方误差损失函数（用于回归问题)

对于单个样本$(x^{(i)},y^{(i)})$，模型的输出${\hat{y}}^{(i)}$就是输入特征$x^{(i)}$和权重$W$的点积，即${\hat{y}}^{(i)}=W^T{x}^{(i)}$。

假设我们有一个线性回归模型，损失函数$J(W)$是计算所以样本上的预测误差的平均值，使用均方误差，损失函数如下：

$$J(W)={\displaystyle \frac{1}{2m}}\sum _{i=1}^m({\hat{y}}^{(i)}-y^{(i)}{)}^2$$

为什么是均方误差的一半？这只是为了在求导时可以抵消掉系数2，简化计算过程。

$${\displaystyle \frac{\partial J(W)}{\partial W}}={\displaystyle \frac{\partial }{\partial W}}({\displaystyle \frac{1}{2m}}\sum _{i=1}^m({\hat{y}}^{(i)}-y^{(i)}{)}^2)$$

应用链式法则，我们首先对内部进行求导（关于预测${\hat{y}}^{(i)}$ 的偏导数）:

$$\frac{\partial J(W)}{\partial {\hat{y}}^{(i)}}=\frac{\partial }{\partial {\hat{y}}^{(i)}}(\frac{1}{2m}({\hat{y}}^{(i)}-y^{(i)}{)}^2)=\frac{1}{m}({\hat{y}}^{(i)}-y^{(i)})$$

接下来，由于$({\hat{y}}^{(i)}=W^T{x}^{(i)})$,我们计算 ${\hat{y}}^{(i)}$关于 $W$的偏导数：

$$\frac{\partial {\hat{y}}^{(i)}}{\partial W}=\frac{\partial }{\partial W}(W^T{x}^{(i)})=x^{(i)}$$

利用链式法则，结合上面的两个偏导数，我们可以得到梯度如下：

$$\frac{\partial J(W)}{\partial W}=\frac{\partial J(W)}{\partial {\hat{y}}^{(i)}}\cdot \frac{\partial {\hat{y}}^{(i)}}{\partial W}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m({\hat{y}}^{(i)}-y^{(i)})x^{(i)}$$

考虑到梯度下降的方向是损失函数减少的方向，我们取上式的负值：

$${\mathrm{\nabla }}_{W}J(W)=-\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{x}^{(i)}({\hat{y}}^{(i)}-y^{(i)})$$

这就是参数 $W$对损失函数$J(W)$梯度的推导过程。

5.$Softmax$回归的从零开始实现

我们将使用Fashion-MNIST数据集【简介】，进行图像多分类问题。

$Step0$:导包

import torch
from IPython import display
from d2l import torch as d2l

$Step1$:读取数据集

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)

① 将展平每个图像，将它们视为长度784的向量。向量的每个元素与w相乘，所以w也需要784行。

② 因为数据集有10个类别，所以网络输出维度为10.

$Step2:$初始化模型参数

将展平每个图像，把它们看作长度为$784$的向量(已知每一个输入是高和宽均为$28$像素的图像，模型的输入向量的长度是$28\times 28=784$)。 因为我们的数据集有$10$个类别，所以网络输出维度为$10$。

因此softmax回归的权重和偏差参数分别为$784\times 10\mathrm{和}1\times 10$的矩阵。

num_inputs = 784
num_outputs = 10
# 随机初始化参数，均值为0，方差为0.01，形状，并为模型参数附上梯度
W = torch.normal(0, 0.01, size=(num_inputs, num_outputs), requires_grad=True)
b = torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True)

$Step3:$定义$Softmax$函数

$$softmax(X{)}_{ij}={\displaystyle \frac{\exp (X_{ij})}{\sum _k\exp (X_{ik})}}$$

def softmax(X):
    X_exp = torch.exp(X) # 每个都进行指数运算
    partition = X_exp.sum(1, keepdim=True)# 按维度1(行)求和，结果为列向量
    return X_exp / partition # 这里应用了广播机制

我们将每个元素变成一个非负数。 此外，依据概率原理，每行总和为1

$Step4$:实现$softmax$回归模型

def net(X):
    return softmax(torch.matmul(X.reshape((-1, W.shape[0])), W) + b)#-1为默认的批量大小，表示有多少个图片，每个图片用一维的784列个元素表示,即X被reshape为256*784形状的矩阵 ，并且行和为1

$Step5:$实现交叉熵损失函数

① 创建一个数据y_hat，其中包含2个样本在3个类别的预测概率，使用y作为y_hat中概率的索引。

y = torch.tensor([0,2]) # 标号索引
y_hat = torch.tensor([[0.1,0.3,0.6],[0.3,0.2,0.5]]) # 两个样本在3个类别的预测概率   
y_hat[[0,1],y] # 把第0个样本对应标号"0"的预测值拿出来、第1个样本对应标号"2"的预测值拿出来，比如这里就是拿出y_hat[0][y[0]] = 0.1 和 y_hat[1][y[1]] = 0.5

⑧ 实现交叉熵损失函数。

def cross_entropy(y_hat, y):
    return -torch.log(y_hat[range(len(y_hat)), y])

$Step6:$计算分类准确率

给定一个类别的预测概率分布y_hat，我们把预测概率最大的类别作为输出类别。如果它与真实类别y一致，说明这次预测是正确的。分类准确率即正确预测数量与总预测数量之比。

为了演示准确率的计算，下面定义准确率accuracy函数。其中y_hat.argmax(axis=1)返回矩阵y_hat每行中最大元素的索引，且返回结果与变量y形状相同。相等条件判别式(y_hat.argmax(axis=1) == y)是一个类型为ByteTensor的Tensor,我们用float()将其转换为值为0（相等为假）或1（相等为真）的浮点型Tensor。

将预测类别与真实y元素进行比较

def accuracy(y_hat,y):
    """计算预测正确的数量"""
    if len(y_hat.shape) > 1 and y_hat.shape[1] > 1: # y_hat.shape[1]>1表示不止一个类别，每个类别有各自的概率   
        y_hat = y_hat.argmax(axis=1) # y_hat.argmax(axis=1)为求行最大值的索引(最大的作为预测)
    cmp = y_hat.type(y.dtype) == y # 先判断逻辑运算符==，再赋值给cmp，cmp为布尔类型的数据
    return float(cmp.type(y.dtype).sum()) # 获得y.dtype的类型作为传入参数，将cmp的类型转为y的类型（int型），然后再求和  

$Step7:$评价任意模型net在数据集data_iter上的准确率。

# 可以评估在任意模型net的准确率
def evaluate_accuracy(net,data_iter):
    """计算在指定数据集上模型的精度"""
    if isinstance(net,torch.nn.Module): # 如果net模型是torch.nn.Module实现的神经网络的话，将它变成评估模式 
        net.eval()  # 将模型设置为评估模式
    metric = Accumulator(2) # 正确预测数、预测总数，metric为累加器的实例化对象，里面存了两个数
    for X, y in data_iter:
        metric.add(accuracy(net(X),y),y.numel()) # net(X)将X输入模型，获得预测值。y.numel()为样本总数
    return metric[0] / metric[1] # 分类正确的样本数 / 总样本数

$Accumulator$的实现

# Accumulator实例中创建了2个变量，用于分别存储正确预测的数量和预测的总数量
class Accumulator:
    """在n个变量上累加"""
    def __init__(self,n):
        self.data = [0,0] * n
        
    def add(self, *args):
        self.data = [a+float(b) for a,b in zip(self.data,args)] # zip函数把两个列表第一个位置元素打包、第二个位置元素打包....
        
    def reset(self):
        self.data = [0.0] * len(self.data)
        
    def __getitem__(self,idx):
        return self.data[idx]

$Step8:$训练模型

$Softmax$回归的训练

# 训练函数
def train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater):
    if isinstance(net, torch.nn.Module):
        net.train() # 开启训练模式
    metric = Accumulator(3)
    for X, y in train_iter:
        y_hat = net(X)
        l = loss(y_hat,y) # 计算损失
        if isinstance(updater, torch.optim.Optimizer): # 如果updater是pytorch的优化器的话
            updater.zero_grad() # 梯度置0
            l.backward() # 计算梯度
            updater.step() # 参数自更新
            metric.add(float(l)*len(y),accuracy(y_hat,y),y.size().numel()) # 总的训练损失、样本正确数、样本总数   
        else:
            l.sum().backward()
            updater(X.shape[0])
            metric.add(float(l.sum()),accuracy(y_hat,y),y.numel()) 
    return metric[0] / metric[2], metric[1] / metric[2] # 所有loss累加除以样本总数，总的正确个数除以样本总数  

动画绘制(辅助函数)

class Animator:
    def __init__(self, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,
                ylim=None, xscale='linear',yscale='linear',
                fmts=('-','m--','g-.','r:'),nrows=1,ncols=1,
                figsize=(3.5,2.5)): 
        if legend is None:
            legend = []
        d2l.use_svg_display()
        self.fig, self.axes = d2l.plt.subplots(nrows,ncols,figsize=figsize)
        if nrows * ncols == 1:
            self.axes = [self.axes,]
        self.config_axes = lambda: d2l.set_axes(self.axes[0],xlabel,ylabel,xlim,ylim,xscale,yscale,legend)         
        self.X, self.Y, self.fmts = None, None, fmts
        
    def add(self, x, y):
        if not hasattr(y, "__len__"):
            y = [y]
        n = len(y)
        if not hasattr(x, "__len__"):
            x = [x] * n
        if not self.X:
            self.X = [[] for _ in range(n)] 
        if not self.Y:
            self.Y = [[] for _ in range(n)]
        for i, (a,b) in enumerate(zip(x,y)):
            if a is not None and b is not None:
                self.X[i].append(a)
                self.Y[i].append(b)
        self.axes[0].cla()
        for x, y, fmt in zip(self.X, self.Y, self.fmts):
            self.axes[0].plot(x, y, fmt)
        self.config_axes()
        display.display(self.fig)
        display.clear_output(wait=True)

总训练函数

def train_ch3(net,train_iter,test_iter,loss,num_epochs,updater):
    animator = Animator(xlabel='epoch',xlim=[1,num_epochs],ylim=[0.3,0.9],       
                       legend=['train loss','train acc','test acc'])# 可视化
    for epoch in range(num_epochs):  # 变量num_epochs遍数据
        train_metrics = train_epoch_ch3(net,train_iter,loss,updater) # 返回两个值，一个总损失、一个总正确率
        test_acc = evaluate_accuracy(net, test_iter) # 测试数据集上评估精度，仅返回一个值，总正确率  
        animator.add(epoch+1,train_metrics+(test_acc,)) # train_metrics+(test_acc,) 仅将两个值的正确率相加，
    train_loss, train_acc = train_metrics
    
 lr = 0.1
 def updater(batch_size):
	return d2l.sgd([W,b], lr, batch_size)

$Step9:$预测

def predict_ch3(net,test_iter,n=6):
    for X, y in test_iter: 
        break # 仅拿出一批六个数据
    trues = d2l.get_fashion_mnist_labels(y)
    preds = d2l.get_fashion_mnist_labels(net(X).argmax(axis=1))
    titles = [true + '\n' + pred for true, pred in zip(trues,preds)]
    d2l.show_images(X[0:n].reshape((n,28,28)),1,n,titles=titles[0:n])
    
predict_ch3(net,test_iter)

5.$Softmax$回归的简洁实现(使用框架)

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l
 
batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)
 
# Softmax回归的输出是一个全连接层
# PyTorch不会隐式地调整输入的形状
# 因此，我们定义了展平层(flatten)在线性层前调整网络输入的形状
net = nn.Sequential(nn.Flatten(),nn.Linear(784,10))
 
def init_weights(m):
    if type(m) == nn.Linear:
        nn.init.normal_(m.weight, std=0.01) # 均值为0(默认)，方差为0.01的随机值
 
net.apply(init_weights)
print(net.apply(init_weights)) # net网络的参数用的是init_weights初始化参数
 
# 在交叉熵损失函数中传递未归一化的预测，并同时计算softmax及其对数
loss = nn.CrossEntropyLoss()
# 使用学习率为0.1的小批量随即梯度下降作为优化算法
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(),lr=0.1)
 
num_epochs = 10
train_ch3(net,train_iter,test_iter,loss,num_epochs,trainer)

参考：

1. d2l-ai/d2l-zh-pytorch-slides: Pytorch版代码幻灯片 (github.com)
2. 深度学习模型系列一——多分类模型——Softmax 回归