2023 ICPC 南京 CG

The 2023 ICPC Asia Nanjing Regional Contest CG

C. Primitive Root

题意：问你满足：$g\le m$并且$g\oplus (p-1)\equiv 1(modp)$的$g$有多少个？

思路：我们知道异或的性质：$a-b\le a\oplus b\le a+b$

由于$g\oplus (p-1)\equiv 1(modp)$，即$g\oplus (p-1)=kp+1$

那么$g=(kp+1)\oplus (p-1)$

根据上述性质：$a-b\le a\oplus b\le a+b$,则有：$(kp+1)-(p-1)\le g\le (kp+1)+(p-1)$

即：$p(k-1)+2\le g\le p(k+1)$

又因为$g\le m$，那么我们知道：

• 对于任意$p(k+1)\le m$即$k\le \lfloor m/p\rfloor -1$都是满足条件的。(最大的都比m小了，那肯定是满足的了),这里有$m/p$个 $(0～(m/p-1))$
• 对于任意$p(k-1)+2>m$即$k>\lceil (m-2)/p\rceil +1$都是不合法的。(最小的都比m大了)
• 对于$k\in [\lfloor m/p\rfloor -1+1,\lceil (m-2)/p\rceil +1]$是不确定是，需要手动判断。

// AC one more times
// nndbk
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
const int N = 2e5 + 10;
 
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);   cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);
    int t; cin>>t;
    while(t--)
    {
        ll p,m; cin>>p>>m;
        ll l = m/p-1+1,r = (m-2)/p+((m-2)%p!=0)+1;
        ll cnt = m/p;
        
        for(ll k = l;k <= r; k++)
            if(((k*p+1)^(p-1))<=m)cnt++;
        cout<<cnt<<"\n";
    }
    return 0;
}

G. Knapsack

题意：给你$n$个物品，每个物品有相对应的价格$w$和价值$v$。你有$W$元和$k$次免费机会，并且每种物品只能买一次，问你最大价值。

思路：一开始想法的先做$01$背包，然后贪心。不好写，而且复杂度很大。那么怎么去考虑呢？

我们注意到两个事情：

• 如果有两个物品$a,b$，其中$a$选择免费，而$b$选择花钱。那么一定有$w[a]\ge w[b]$
• 如果有两个物品$a,b$，其中$a$选择免费，而$b$不选择。那么一定有$v[a]\ge v[b]$

那么我们发现一个事情：一定存在一个分界点$M$,使得$i\le M$的$val$的前$k$大选择去免费。

我们按照$w$排序。先预处理出前$i$的物品的$val$前$k$大。然后正常去$01$背包(倒着做，因为是后缀)，注意记录二维，因为后面要用。最后算答案就行了。

// AC one more times
// nndbk
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
const int N = 5e3 + 10;
 
struct node
{
    ll w,v;
}a[N];
 
bool cmp(node a,node b)
{
    return a.w > b.w;
}
ll sum[N],f[5010][10010],pre[N];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);   cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);
    
    int n,W,k; cin>>n>>W>>k;
    for(int i = 1;i <= n; i++)
    {
        ll w,v; cin>>w>>v;
        a[i].w = w,a[i].v = v;
    }
 
    sort(a+1,a+1+n,cmp);
    multiset<int>s;
    for(int i = 1;i <= n; i++)
    {
        int val = a[i].v;
        if(s.size()<k)
        {
            s.insert(val);
            pre[i] = pre[i-1] + val;
        }
        else if(s.size()==k && k != 0){
            int t = *s.begin();
            if(t < val)
            {
                s.erase(s.begin());
                s.insert(val);
                pre[i] = pre[i-1] - t + val;
            }
            else pre[i] = pre[i-1];
        }
    }
    
    ll ans = 0;
    for(int i = n;i >= 1; i--)
    {
        for(int j = 0;j <= W; j++)
        {
            f[n-i+1][j] = f[n-i][j];
            if(j>=a[i].w)
                f[n-i+1][j] = max(f[n-i+1][j],f[n-i][j-a[i].w]+a[i].v);
        }
    }
    
    for(int j = k;j <= n; j++)
    {
        ans = max(ans,f[n-j][W]+pre[j]);
    }
 
    cout<<ans<<"\n";
    return 0;
}