同余——推柿子
eg1.[P1516青蛙的约会](P1516 青蛙的约会 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn))
题意：
设青蛙 A 的出发点坐标是 \(x\)，青蛙 \(B\) 的出发点坐标是 \(y\)。青蛙 \(A\) 一次能跳 \(m\) 米，青蛙 \(B\) 一次能跳 \(n\) 米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长$ L$ 米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
题解：
\(p1+mx \equiv p2+nx(\bmod l)\)
\((m-n)x \equiv (p2-p1)(\bmod l)\)
设\(m-n = a,l = b,p2-p1 = c\)
则有\(ax\equiv c(\bmod b)\)注意这里a可能为负数,\(\gcd\)只对非负整数有意义，所以处理一下：若\(a<0,a = -a,c = -c\)
那么\(x \equiv c\times a^{-1}(\bmod b)\),接下来我们求\(a^{-1}\)
\(ax \equiv 1(\bmod b)\)由\(exgcd\)可解出\(x\)就是\(a^{-1}\)
设\(d = exgcd(a,b,x,y)\),那么\(x = (((\frac{c}{d})\times x)\bmod(\frac{b}{d})+(\frac{b}{d}))\bmod (\frac{b}{d})\)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll p1,p2,m,n,l,a,b,x,y;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
if(b==0)
{
x = 1,y = 0;
return a;
}
ll d = exgcd(b,a%b,y,x);
y -= (a/b)*x;
return d;
}
int main()
{
cin>>p1>>p2>>m>>n>>l;
/*
(m-n)x ≡ (p2-p1)(mod l)
(m-n)x + kl = (p2-p1)
a = m-n,b = l,c = p2-p1;
ax + by = c;
*/
ll a = n-m,b = l,c = p1-p2;
if(a<0)a = -a,c = -c;
ll d = exgcd(a,b,x,y);
//ax0+by0 = d
//ax0+by0能被d整除，那c也要能整除
if(c%d)cout<<"Impossible\n";
else{
//ax+by = c
//ax0*(c/d)+by0*(c/d) = c
//x0*(c/d)是一个解
cout<<(c/d*x%(b/d)+(b/d))%(b/d)<<endl;
}
return 0;
}
eg2.[P2421 [NOI2002] 荒岛野人]([P2421 NOI2002] 荒岛野人 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn))
题意：给n个人，每个人有初始位置，和每年可以走过的洞穴数目及其存活寿命，求洞穴数至少有多少个保证n个人永远不会相遇。
题解：
这题其实和青蛙那题很像，也是给初始位置和每年走过的距离,不同的地方在于，本题求的是不相遇且多了一个寿命的限制。
对于任意两个人来说有：
\(p1 + mx \equiv p2 + nx(\bmod m)\)
其中：\(p\)代表初始位置,\(m\)和\(n\)是每年走过的洞穴数，\(x\)是相遇的时间，\(m\)是洞穴的数目。
我们先\(for\)一遍找到初始位置最大的洞穴编号,以次为起点枚举答案，即洞穴数目m,之后我们再去\(check(m)\)。
那么怎么\(check\)呢？我们要这些人永远不会相遇，那对于任意两个人而言，我们解出的相遇时间x(用\(exgcd\))要么是无解，要么\(x>max(l1,l2)\)，\(l\)表示寿命，即在相遇之前就死掉了,所以还是不会相遇的
那么我们找到的第一个符合条件的\(m\)就是答案。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
int maxc,C[N],p[N],l[N];
int n;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x = 1,y = 0;
return a;
}
int d = exgcd(b,a%b,y,x);
y -= (a/b)*x;
return d;
}
bool judge(int m)
{
for(int i = 1;i<=n;i++)
{
for(int j = i+1;j<=n;j++)
{
/*
ci+pi*x = cj+pj*x (mod m) 不成立
无解或x>min(li,lj),相遇之前有一个死掉
(pi-pj)*x = (cj-ci) (mod m)
ax = c (mod b)
*/
int a = p[j]-p[i],b = m,c = C[i]-C[j],x = 0,y = 0;
if(a<0)a = -a,c = -c;
int d = exgcd(a,b,x,y);
if(c%d==0)
{
int ans = ((c/d)*x%(b/d)+(b/d))%(b/d);
if(ans<=min(l[i],l[j]))return false;
}
}
}
return true;
}
int main()
{
cin>>n;
for(int i = 1;i<=n;i++)
{
cin>>C[i]>>p[i]>>l[i];
maxc = max(maxc,C[i]);
}
for(int i = maxc;;i++)
{
if(judge(i))
{
cout<<i<<endl;
return 0;
}
}
return 0;
}
