欧拉路，欧拉回路小结（转）
欧拉路，欧拉回路小结
把欧拉路和欧拉回路做一个小总结，包含了一些题目，以后遇到新的我还会陆续加上。
定义： 给定无孤立结点图G，若存在一条路，经过G中每条边有且仅有一次，称这条路为欧拉路，如果存在
一条回路经过G每条边有且仅有一次，称这条回路为欧拉回路。具有欧拉回路的图成为欧拉图。
关于欧拉路和欧拉回路定义及存在证明请看这里。 这里给出欧拉路和欧拉回路存在条件的结论:
存在欧拉路的条件:
无向图: 图连通，所有点都是偶数度，或者只有两个点是奇数度。当所有点是偶数度时欧拉路起点可以是任意
点；当有两个奇数度点时起点必须是奇数度点。
有向图: 图连通，所有点出度=入度，或者有一个点入度-出度=1，有一个点出度-入度=1。同样，当所有点
出度=入度时任意点可作为起点；而后者必须以出度-入度=1的点做起点，入度-出度=1的点做终点。
存在欧拉回路的条件:
无向图: 图连通，所有点都是偶数度
有向图: 图连通，所有点出度=入度
混合图: 构造网络流模型来进行判断，具体如下:
先对原图中的无向边随便定向，然后计算每个点的出度和入度，如果存在|出度-入度|为奇数的点，则
不存在欧拉回路(因为欧拉回路要求每个点出度=入度，而对无向图随便定向不影响点的 |出度-入度|
的奇偶性，所以如果存在这样的点，不论怎么样都不可能找到欧拉回路)；否则，对于每个点来说，
求出它的|出度-入度|/2，得到X。然后开始构造网络：原图中的无向边怎么定向，网络中就怎么连边，
容量为1；然后对于每个点,如果(出度-入度)大于0，就和源点连边，容量为X；如果(出度-入度)大于0，
就和汇点连边，容量为X；然后对这个网络求最大流，如果能够满流，则原图存在欧拉回路，否则不存
在。
证明：每个点的出度和入度之差|出度-入度|，需要改变它的一半，即X条与之相接的边来调节使之出
度=入度(因为改变1条边使得出入度之差改变2)；对于出度大于入度的点和源点连边，相当于
这些点提供出度；对于入度大于出度的点，和汇点连边，相当于接受出度；那些无向边随便定
向，容量为1，表示它们可以改变方向。如果能够满流，说明可以通过调节无向边方向得到欧
拉回路，流量为1表示改变一条边的方向。那么怎么得到这个图的欧拉回路呢？我们知道，流
量为1表示需要改变它的方向，所以最后的欧拉回路即是求图G的欧拉回路，图G为原图的有向
边+网络中流量为0的边+网络中流量为1的边的反向。
这些结论的证明都不难，大家还是好好想一想为什么，这对于问题的求解很有帮助。
关于这部分知识的题目主要有以下几类：一笔画问题(HDU3018)；欧拉路、欧拉回路存在性问题
(POJ2513, POJ1386, POJ1637)；寻找一条欧拉路、欧拉回路问题(HDU2894,POJ2230, POJ2337,
POJ1392,POJ1041)，有时会要求字典序最小什么的。其中，模型的建立和构图是最重要的。
HDU3018 Ant Trip 给定一个无向图G，问最少需要几笔画完。
解法：对于每一个连通分量，如果所有点都是偶数度，需要一笔画完(即欧拉回路)，否则需要奇数度点个数的
1/2，注意忽略孤立点。证明很简单，自己想~
POJ2513 Colored Sticks 给定N个棍子(N < 250,000)，每个棍子两头有两个颜色，如果两个棍子在某一个
端点颜色相同，则可以连接，问能否把N各棍子连接为一条？
解法：很裸的欧拉路判断问题，判断一下连通性和点的度就好了，需要注意不能用map，会超时，必须用trie。
POJ1386 Play on words 给定N个单词，问是否能否按照规定排成一排，两个单词iff有相同端点才可以挨着。
如acm，go，micolog，就可以按照acm->micolog->go排成一列。
解法：这是个老题了，在OI论文里也有提过，构图是一个亮点。我们把单词当做边，把第一个和最后一个字符
当做点连边。比如acm就让a和c连边，然后只需判断是否存在欧拉路即可。
证明：N个单词按照如上构图可以得到一个有N条边的有向图，如果这个图存在欧拉路，如上边的例子，
存在a->m->g，我们就可以知道a开头，m结尾的单词是排列的第一个，m开头g结尾的是第二
次，以此类推。所以这个构图时合理的。而如果把单词做点的话这个题的意思便是求汉密尔顿路，
明显不如这样简单直观。
POJ1637 Sightseeing tour 裸的混合图的欧拉回路，判断是否存在，按上面提到的方法构造网络判断满流即可。
HDU2894 DeBruijin DeBruijin图问题，给定一个数N，求一个长为2^N的01串，使得任意N个子串表示0到
2^N-1所有的数恰好一次，且要求字典序最小。
解法：直接DFS找即可，每次按照先添加0再添加1的顺序找到未标记的数，然后标记接着DFS，最后逆序输出。
POJ2230 Watchcow 给定一个无向图，保证存在欧拉路，找到一条欧拉路，输出点的访问顺序。
解法：直接DFS即可，由于没有要求，可以不记录结果直接在DFS过程中输出(是逆序的)即可。
POJ1041 John’s trip 给定一个有向图，如果存在欧拉路的话输出边的访问顺序。
解法：DFS，中间记录结果。注意输出边的顺序和输出点的顺序的不同。
POJ2337 Catenyms 和POJ1386一样的题意，但是要求把最后的结果输出且要求字典序最小。
解法：每条边保存起点，终点和相应的单词，先判断是否存在，如果存在的话，把所有的边按照单词进行排
序，然后DFS+回溯找到欧拉路。具体看代码。
POJ1392 Ouroboros Snake 和HDU2894几乎一样的题目，给出N个K，找出长度为N时串的第K个数。
解法：和HDU2894一样DFS记录即可。
嘿嘿，转不过来，只好贴过来了，原链接：
