算法专题 二分图(转)
二分图:二分图是这样一个图,它的顶点可以分类两个集合X和Y,所有的边关联的两个顶点恰好一个属于集合X,另一个属于集合Y。
二分图匹配:给定一个二分图G,在G的一个子图M中,M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点,则称M是一个匹配。
最大匹配:图中包含边数最多的匹配称为图的最大匹配。
完美匹配:如果所有点都在匹配边上,则称这个最大匹配是完美匹配。
二分图匹配基本概念:
未盖点
设VI是G的一个顶点,如果VI不与任意一条属于匹配M的边相关联,就称VI是一个未盖点。
交错轨
设P是图G的一条轨,如果P的任意两条相邻的边一定是一条属于M而另一条不属于M,就称P是交错轨。
可增广轨(增广路)
两个端点都是未盖点的交错轨称为可增广轨。
可增广轨的性质:
1:P的路径长度必定为奇数,第一条边和最后一条边都不属于M。
2:P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M’。
3:M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径。
二分图最大匹配匈牙利算法:
算法的思路是不停的找增广轨,并增加匹配的个数,增广轨顾名思义是指一条可以使匹配数变多的路径,在匹配问题中,增广轨的表现形式是一条"交错轨",也就是说这条由图的边组成的路径,它的第一条边是目前还没有参与匹配的,第二条边参与了匹配,第三条边没有..最后一条边没有参与匹配,并且始点和终点还没有被选择过.这样交错进行,显然他有奇数条边.那么对于这样一条路径,我们可以将第一条边改为已匹配,第二条边改为未匹配...以此类推.也就是将所有的边进行"取反",容易发现这样修改以后,匹配仍然是合法的,但是匹配数增加了一对.另外,单独的一条连接两个未匹配点的边显然也是交错轨.可以证明,当不能再找到增广轨时,就得到了一个最大匹配.这也就是匈牙利算法的思路。
代码:
//匈牙利算法复杂度o(nm)
#include <iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 1001,MAXM = 1001;
int n1,n2,m,ans;//n1,n2分别为二分图两边节点的个数,两边的节点分别用1..n1,1..n2编号,m为边数
bool g[MAXN][MAXM];//图G邻接矩阵g[x][y]
bool y[MAXM];//Y集合中点i访问标记
int link[MAXM];//link[y]表示当前与y节点相邻的x节点
void init()
{
int x,y;
memset(g,0,sizeof(g));
memset(link,-1,sizeof(link));
ans = 0;
scanf("%d%d%d",&n1,&n2,&m);
for (int i = 1;i <= m;i++)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
g[x][y] = true;
}
}
bool find(int x)//是否存在X集合中节点x开始的增广路
{
for (int i = 1;i <= n2;i++)
if (g[x][i] && !y[i])//如果节点i与x相邻并且未访问过
{
y[i] = true;
if (link[i] == -1 || find(link[i]))//如果找到一个未盖点i中或从与i相邻的节点出发有增广路
{
link[i] = x;
return true;
}
}
return false;
}
int main()
{
init();
/*for (int j = 1;j <= n2;j++)
for (int i = 1;i <= n1;i++)
if (g[i][j] && !link[j])
link[j] = i;//贪心初始解优化*/
for (int i = 1;i <= n1;i++)
{
memset(y,0,sizeof(y));
if (find(i))
ans++;
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
真正求二分图的最大匹配的题目很少,往往做一些简单的变化:
变种1:二分图的最小顶点覆盖
最小顶点覆盖要求用最少的点(X或Y中都行),让每条边都至少和其中一个点关联。
knoig定理:二分图的最小顶点覆盖数 = 二分图的最大匹配数(m)。
变种2:DAG图的最小路径覆盖
用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图(DAG)G的所有顶点,这就是DAG图的最小路径覆盖问题。
结论:DAG图的最小路径覆盖数 = 节点数(n)- 最大匹配数(m)
变种3:二分图的最大独立集
结论:二分图的最大独立集数 = 节点数(n)— 最大匹配数(m)
附上一些题目
1:pku 1466 Girls and Boys http://poj.org/problem?id=1466
这是一道典型的二分匹配的题目,并且非常简单,使用模板即可AC。
题目大意:在N个点的图G中选出m个点,使这m个点两两之间没有边.求m最大值.
如果图G满足二分图条件,则可以用二分图匹配来做.最大独立集点数 = N - 最大匹配数。
最大独立数=未匹配的节点+匹配数/2 (1)(设n=匹配数/2,可以理解为去掉二分图某侧匹配好的n个节点,在另一侧对应的n个节点就没有相匹配的了)
未匹配的节点=顶点数-匹配数 (2)
由(1)(2)得: 最大独立数=顶点数-匹配数的一半
参考:http://blog.163.com/zjut_nizhenyang/blog/static/1695700292010920914230/
2:pku 1719 Shooting Contest 二分图匹配
http://blog.163.com/zjut_nizhenyang/blog/static/169570029201010199320592/
建图,输出匹配就行了
//题目分析:题目其实要求你以x,y坐标作为二分图的两个节点部分,然后让你找到一个匹配,然后根据一个部分的节点顺序把对应的另一个节点输出
//思路分析:直接用dfs实现的匈牙利算法来解决二分图
参考:http://blog.163.com/zjut_nizhenyang/blog/static/169570029201010199320592/
3:pku 1422 二分图,最小路径覆盖
http://poj.org/problem?id=1422
参考:http://blog.163.com/zjut_nizhenyang/blog/static/16957002920101025922340/
4:pku 2594 Treasure Exploration floyd 重新建图+最小路径覆盖+二分图
http://poj.org/problem?id=2594
参考:http://blog.163.com/zjut_nizhenyang/blog/static/1695700292010102583552414/
5:pku 3216 Repairing Company floyd 最短路+二分图最大匹配
http://poj.org/problem?id=3216
参考:http://blog.163.com/zjut_nizhenyang/blog/static/169570029201010257563738/
6:pku 1904 King's Quest 强连通分支,二分图
http://poj.org/problem?id=1904
参考:http://blog.163.com/zjut_nizhenyang/blog/static/1695700292010102572022595/
7:pku 3041 二分图 最小点覆盖数=最大匹配数
http://poj.org/problem?id=3041
参考:http://blog.163.com/zjut_nizhenyang/blog/static/1695700292010102462244415/
8:zjut 1321 Dividing 二分图匹配
http://acm.zjut.edu.cn/ShowProblem.aspx?ShowID=1321
参考:http://blog.163.com/zjut_nizhenyang/blog/static/1695700292010102454153206/
9:pku 2771 Guardian of Decency 二分图,最大独立集
http://poj.org/problem?id=2771
参考:http://blog.163.com/zjut_nizhenyang/blog/static/1695700292010111065019932/
10:pku 1325 Machine Schedule 二分图最小点覆盖
http://poj.org/problem?id=1325
参考:http://blog.163.com/zjut_nizhenyang/blog/static/1695700292010111035942586/
11:pku 1486 Sorting Slides 二分图必须边
http://poj.org/problem?id=1486
参考:http://blog.163.com/zjut_nizhenyang/blog/static/1695700292010111032443864/
12:pku 2536 Gopher II 二分图匹配
http://poj.org/problem?id=2536
参考:http://blog.163.com/zjut_nizhenyang/blog/static/1695700292010117113611862/
13:pku 2239 Selecting Courses 二分图匹配
http://poj.org/problem?id=2239
参考:http://blog.163.com/zjut_nizhenyang/blog/static/16957002920101171151319/
14:pku 1274 The Perfect Stall 二分图匹配
http://poj.org/problem?id=1274
参考:http://blog.163.com/zjut_nizhenyang/blog/static/1695700292010117102245344/
15:pku 2724 Purifying Machine 二分图最小路径覆盖
http://poj.org/problem?id=2724
参考:http://blog.163.com/zjut_nizhenyang/blog/static/1695700292010111495830231/
16:pku 3020 Antenna Placement 二分图最小路径覆盖
http://poj.org/problem?id=3020
参考:http://blog.163.com/zjut_nizhenyang/blog/static/1695700292010111485846859/
17:pku 2446 二分图最大匹配的应用
http://poj.org/problem?id=2446
参考:http://blog.163.com/zjut_nizhenyang/blog/static/169570029201011148555347/
18:pku 2226 Muddy Fields 二分图 最小点覆盖
http://poj.org/problem?id=2226
参考:http://blog.163.com/zjut_nizhenyang/blog/static/1695700292010111365944100/
19:zjut 1478 挽救损失 二分图 最小点覆盖
http://acm.zjut.edu.cn/ShowProblem.aspx?ShowID=1478
参考:http://blog.163.com/zjut_nizhenyang/blog/static/1695700292010111365248521/
20:pku 2060 Taxi Cab Scheme 二分图最小路径覆盖
http://poj.org/problem?id=2060
参考:http://blog.163.com/zjut_nizhenyang/blog/static/16957002920101111433360/
21:pku 1548 Robots 二分图最小路径覆盖
http://poj.org/problem?id=1548
参考:http://blog.163.com/zjut_nizhenyang/blog/static/169570029201011113748927/
22:pku 3692 Kindergarten 二分图最大独立集,求补图的最大独立集
http://poj.org/problem?id=3692
参考:http://blog.163.com/zjut_nizhenyang/blog/static/1695700292010111075931537
以上内容转自http://blog.163.com/zjut_nizhenyang/blog/static/169570029201011285564684/