单调队列小结

好久没写blog了，前几天刷了一些基础题，感觉发现了很多并没有好好学会的东西（盲生！你发现了华点），于是打算更一波：首先是单调队列。

 

Q: 单调队列是什么？

A: 顾名思义，它是一种队列内元素单调递减或单调递增的队列（因为从队头和队尾都可以出队，所以大概是双端队列）。一般使用频率不高，但在有些程序中会有非同寻常的作用，例如可以用来优化DP之类。它的作用一般是高效地维护区间内最优解等，最优选择往往在队首。

 

Q: 这东西怎么搞啊qwq？

A: 一般的原理是：在处理 ans[i] 时，去除冗杂、多余的状态，使得每个状态在队列中只会出现一次；同时维护一个能瞬间得出最优解的队列，减少重新访问的时间；在取得自己所需的值后，为后续的求解做好准备。

 

一、单调队列的性质：

　1、 队列中的元素其对应在原来的列表中的顺序必须是单调递增的。

　2、 队列中所有元素的关系必须有序。

 

二、使用单调队列就涉及到去头和删尾，以区间最大值为例：

　1、队列的头一定是在一段时间前就加入了队列，现在的队列头会不会离开了我们处理的区间呢？如果它离我们正在处理的 i 太远了，我们就要把它去掉，去除冗杂的信息。

　2、为了保证队列的递减性，在从列队尾新插入元素 v 时，要考虑队列尾 p 处的值是否大于 v ，如果是，直接将 v 入队 ，此时队列递减性没有消失；如果不是，为了维护递减性，我们做如下考虑：v 是最新值，它的位置是目前最靠后的，它可成为以后的答案，必须留下；p - 1 的值与 v 大小不定，不能冒然删去它；而队列尾的值不但不是最大值，对于以后的情况又不如 v 优，因为 v 相比队列尾更靠后，而且值更大，所以删除队列尾，再同样判断 p - 1 处的值。

 　3、 这样，在维护好一个区间正确、严格递减的单调递减队列后，队列头就是当前区间的最大值了。借助这里的最优解，我们还可以由此得到目前所求的最优解（通常此处插入DP方程）。

 

Example_1：[Luogu 1886] 滑动窗口

维护区间最值问题，板子，放一个代码：

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 1000000 + 10;
int n, k, a[maxn], q[maxn], p[maxn], tail, head;

int main(int argc, const char *argv[])
{
  freopen("nanjolno.in", "r", stdin);
  freopen("nanjolno.out", "w", stdout);

  n = read(), k = read();
  for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read();
  
  head = 1, tail = 0;
  for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    while( head <= tail && q[tail] >= a[i] ) --tail;
    q[++tail] = a[i], p[tail] = i;
    while( p[head] <= i - k ) ++head;
    if( i >= k ) printf("%d ", q[head]);
  }
  printf("\n");
  
  head = 1, tail = 0;
  for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    while( head <= tail && q[tail] <= a[i] ) --tail;
    q[++tail] = a[i], p[tail] = i;
    while( p[head] <= i - k ) ++head;
    if( i >= k ) printf("%d ", q[head]);
  }
  printf("\n");
  
  fclose(stdin), fclose(stdout);
  return 0;
}

 

Example_2：[HAOI 2007] 理想的正方形

很有趣的一道题，二维的滑动窗口233。思路是先对原矩阵每行做维护，再对得到的新矩阵的每一列做维护，得到题意的最优解。

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef pair<int, int> pairs;

const int maxn = 1000 + 10;
int n, m, c, mut[maxn][maxn], max_tmp[maxn][maxn], min_tmp[maxn][maxn];
int fin_max[maxn][maxn], fin_min[maxn][maxn], q[maxn], p[maxn], head, tail;

inline int read() {
  register char ch = 0; register int w = 0, x = 0;
  while( !isdigit(ch) ) w |= (ch == '-'), ch = getchar();
  while( isdigit(ch) ) x = (x * 10) + (ch ^ 48), ch = getchar();
  return w ? -x : x;
}

int main(int argc, char const *argv[]) 
{
  freopen("nanjolno.in", "r", stdin);
  freopen("nanjolno.out", "w", stdout);

  int ans = 2147483647;
  scanf("%d%d%d", &n, &m, &c);
  for(int i = 1; i <= n; ++i) for(int j = 1; j <= m; ++j) mut[i][j] = read();

  for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    head = 1, tail = 0;
    for(int j = 1; j <= m; ++j) {
      while( tail - head + 1 && q[tail] >= mut[i][j] ) --tail;
      q[++tail] = mut[i][j], p[tail] = j;
      while( p[head] <= j - c ) ++head;
      if( j >= c ) min_tmp[i][j] = q[head];
    }
  }
  for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    head = 1, tail = 0;
    for(int j = 1; j <= m; ++j) {
      while( tail - head + 1 && q[tail] <= mut[i][j] ) --tail;
      q[++tail] = mut[i][j], p[tail] = j;
      while( p[head] <= j - c ) ++head;
      if( j >= c ) max_tmp[i][j] = q[head];
    }
  }
  for(int j = 1; j <= m; ++j) {
    head = 1, tail = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
      while( tail - head + 1 && q[tail] >= min_tmp[i][j] ) --tail;
      q[++tail] = min_tmp[i][j], p[tail] = i;
      while( p[head] <= i - c ) ++head;
      if( i >= c ) fin_min[i][j] = q[head];
    }
  }
  for(int j = 1; j <= m; ++j) {
    head = 1, tail = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
      while( tail - head + 1 && q[tail] <= max_tmp[i][j] ) --tail;
      q[++tail] = max_tmp[i][j], p[tail] = i;
      while( p[head] <= i - c ) ++head;
      if( i >= c ) fin_max[i][j] = q[head];
    }
  }

  for(int i = c; i <= n; ++i) for(int j = c; j <= m; ++j)
    ans = min(ans, fin_max[i][j] - fin_min[i][j]);
  printf("%d\n", ans);

  fclose(stdin), fclose(stdout);
  return 0;
}