[Luogu 4316] 绿豆蛙的归宿

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一道基础的 \(DAG\) 上期望 \(DP\)。

给出一个有向无环图，起点为 \(1\) 终点为 \(N\)，每条边都有一个长度，并且从起点出发能够到达所有的点，所有的点也都能够到达终点。到达每一个顶点时，如果有 \(K\) 条离开该点的道路，绿豆蛙可以选择任意一条道路离开该点，并且走向每条路的概率为 \(\frac{1}{K}\) 。求从起点走到终点的所经过的路径总长度期望是多少。

一开始使经过起点的概率为 \(1\)，到起点的期望距离为 \(0\)，拓扑推下去，\(GG\)。\(WA\) 了两发，怎么也搞不出来……

其实这道题的期望怎么算是很显然的，可以发现，\(Ans = \sum_{e \in Edge} t_e w_e\)，\(t_e\) 为经过一条边的期望次数，即经过这条边起点的期望次数除以这条边起点的出度。

然后可以设状态 \(ex[x]\) 表示点 \(x\) 到终点 \(n\) 的期望路径总长。显然，要求的答案为\(ex[1]\)，而且有\(ex[n]=0\)。进行一遍拓扑排序，在拓扑排序的时候进行期望 \(dp\) 的转移。而对于一条有向边,我们假设它由 \(x−>y\)，那么有 \(ex[x]=(\frac{1}{degree[x]})∗\sum (ex[y] + w[x−>y])\)。题目就解出来了……

总结一下的话……期望 \(DP\) 也是一种 \(DP\)，所以 \(DP\) 的相关内容都是有的。一般来说，初始状态确定时可用顺推，终止状态确定时可用逆推，而期望大多是逆推的。

代码：

#include <cmath>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 100000 + 10;
double ex[maxn];
int n, m, head[maxn], in_deg[maxn], out_deg[maxn], sta[maxn], top, edge_num;

struct Edge { int v, w, nxt; } edge[maxn << 1];

inline void Add_edge(int u, int v, int w) {
  edge[++edge_num].v = v, edge[edge_num].w = w, ++out_deg[u], ++in_deg[v];
  edge[edge_num].nxt = head[u], head[u] = edge_num;
}

inline void Breath_fs(int s) {
  queue<int> q; q.push(s);
  while( !q.empty() ) {
    sta[++top] = q.front(), q.pop();
    for(int i = head[sta[top]]; i; i = edge[i].nxt)
      if( --in_deg[edge[i].v] == 0 ) q.push(edge[i].v);
  }
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
  scanf("%d%d", &n, &m);
  for(int u, v, w, i = 1; i <= m; ++i)
    scanf("%d%d%d", &u, &v, &w), Add_edge(u, v, w);
  Breath_fs(1);
  for(int t = n; t > 0; --t)
    for(int x = sta[t], i = head[x]; i; i = edge[i].nxt)
      ex[x] = ex[x] + (ex[edge[i].v] + edge[i].w) / out_deg[x];
  printf("%.2lf\n", ex[1]);

  return 0;
}

　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　花影婆娑欲踏踩，悬崖樱树月色明。