Matrix-tree 定理的一些整理

\(Matrix-tree\) 定理用来解决一类生成树计数问题，以下前置知识内容均是先基于无向无权图来介绍的。有关代数余子式的部分不是很明白，如果有错误还请指出……
部分内容参考至：\(Blog\_1\) & \(Blog\_2\)。
　

\(Laplacian\) 矩阵

定义：
在 \(n\) 个点的无向图中：
度数矩阵 \(D\) 即为一个 \(n*n\) 的矩阵，定义为 \(D[i][i]=i\) 号点的度数，\(D[i][j]=0\) \((i \ne j)\)。
邻接矩阵 \(A\) 即为一个 \(n*n\) 的矩阵，定义为 \(A[i][j]=i, j\) 之间的边数。
则其拉普拉斯矩阵其实就是图的度数矩阵减去邻接矩阵，即 \(L=D-A\)。
对此，可以直接的总结出 \(laplacian\) 矩阵中各元素的值为：

\[ L_{i,j}= \left \{ \begin{aligned} degree(i)　　　　　 & & i = j \\ -\ Edge\_number(i, j) & & i \ne j\\ \end{aligned} \right.\]

　

矩阵行列式性质及求法

行列式：
在一个 \(n*n\) 的矩阵中，选出 \(n\) 个互相不同行不同列的数，其乘积的值冠以符号 \((-1)^t\)，得到式子：\((-1)^t\ ·\ a_{1,p_1}\ ·\ a_{2,p_2}\ ·\ a_{3,p_3}\ ·\ ...\ ·\ a_{n,p_n}\)；
其中，\(p\) 为自然数 \(1~n\) 的一个排列，\(t\) 为这个排列的逆序对数，可知形同上式的项共有 \(n!\) 个。所有这些项的代数和称为矩阵的 \(n\) 阶行列式，简记为 \(det(i,j)\)，其中数 \(i,j\) 为行列式 \(D\) 的 \((i,\ j)\) 元。
也可以理解为矩阵 \(A\) 任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。

行列式的性质：
· 互换矩阵的两行(列)，行列式变号
· 矩阵有两行(列)成比例(比例系数 \(k\))，则行列式的值为 \(0\)
· 矩阵的某一行(列)中的所有元素都乘以同一个数 \(k\)，新行列式的值等于原行列式的值乘上数 \(k\)
· 把矩阵的某一行(列)加上另一行(列)的 \(k\) 倍，则行列式的值不变

行列式的求法：
按照定义来求行列式的复杂度实在是太高了，考虑一些更快的方法。
给出一个上三角/下三角矩阵，其行列式的值为对角线的乘积，因为只有 \(p={1,2,3...n}\) 时，乘积项中才没有 \(0\) 出现。
采用高斯消元的方法，把矩阵消为一个上三角矩阵后，然后求出对角线的积，便是该矩阵的行列式的值。
　

高斯消元

高斯消元：
上面提到了高斯消元，我之前也学习过，不过忘记的差不多了……（之前的博客）
这里简单放一下，顺便做个复习补充。

模意义下的高斯消元：
如果要求的矩阵不允许出现实数，且需要取模，则采用辗转相除的高斯消元法，至于这个辗转相除，复杂度高不了多少。
众所周知 高斯消元需要做除法，而模意义下是没有除法拿来做的。计算高斯消元的时候，如果模数是质数，那么除法逆元可以直接用费马小定理解决。否则我们对于矩阵中的两行，不断地把主元较大的那一行减去主元较小的那一行，最终一定有一行主元为 \(0\)，也就完成了消元。
发现以上思想是更相减损术的思想，效率太低，就可以拿辗转相除代替。
需要注意的是，我们在做的时候会交换行，而由行列式的性质，我们需要统计一下交换的次数：如果次数为奇数，那么最后的答案还要乘上模意义下的 \(-1\)。
　

inline void Gaussian() {
  for(int i = 1; i <= n; ++i)
    for(int j = i + 1; j <= n; ++j) while( kir[j][i] ) {
      int tmp = kir[i][i] / kir[j][i];
      for(int k = i; k <= n; ++k) {
        kir[i][k] = (kir[i][k] - tmp * kir[j][k] % mod + mod) % mod;
        swap(kir[i][k], kir[j][k]);
      }
      ans = (mod - ans) % mod;
    }
}

　

\(Matrix-tree\) 定理

定理内容：
应用中，无向图的生成树个数就等于这副图的 \(laplacian\) 矩阵的任意一个代数余子式值，也可以理解为 \(laplacian\) 矩阵一个余子式的行列式的值。

余子式和代数余子式：
\(M_{i,j}\) 表示矩阵的一个余子式，指去掉元素 \(a_{i,j}\) 所在的行和列后剩余的矩阵部分。
\(C_{i,j}\) 表示矩阵的一个代数余子式，定义为 \(C_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{i,j}\)。

定理总结：
· 存在性质：\(laplacian\) 矩阵的任意一个代数余子式值都相同。
· 求得 \(laplacian\) 矩阵后，取一个余子式用高斯消元得到新矩阵的上三角矩阵，对角线乘积的绝对值就是生成树个数。

定理推广：
对于消去自环影响的有向图，也可以求以 \(i\) 为根的外向树/内向树个数，此时的 \(laplacian\) 矩阵定义为：

\[ L_{i,j}= \left \{ \begin{aligned} in\_degree(i)\ or\ out\_degree(i)　 & & i = j \\ -\ Edge\_number(i\ to\ j)　　　　 & & i \ne j\\ \end{aligned} \right. \]

　

例题及拓展性质

\([SDOI2014]\) 重建：
给一个图，每条边有出现概率，求这个图恰好为一棵树的概率。
考虑 \(laplacian\) 矩阵的意义：之所以能够进行生成树计数是对于其关联矩阵在计数 \(n−1\) 条边的集合时，当 \(n−1\) 条边中存在环就会产生线性组合而导致行列式为零，否则恰好对角线上均为关联矩阵中所赋的值，使得 \(det(B_{i,j})^2\) 就为 \(1\)（有关这一部分的理解请看文章首部给出的 \(Blog\_2\) 链接）。
因此可以令邻接矩阵中存下边权，以计数生成树中边权的乘积。
这道题告诉我们：邻接矩阵中的的权可以不是 \(1\)，而是其他权值，比如概率。
了解了这个之后，就直接放一篇别人的题解 \(Blog\_3\) 在这里好了。
　

#include <cmath>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define scnaf scanf

const double eps = 1e-8;
const int maxn = 50 + 5;
int n; double p[maxn][maxn], tmp, ans;

inline double Abs(double x) { return x < 0 ? -x : x; }

inline void Gaussian() {
  for(int maxx = 1, i = 1; i < n; maxx = ++i) {
    for(int j = i + 1; j < n; ++j) if( Abs(p[j][i]) > Abs(p[maxx][i]) ) maxx = j;
    if( maxx != i ) for(int j = 1; j < n; ++j) swap(p[i][j], p[maxx][j]);
    for(int k = i + 1; k < n; ++k) {
      double mul = p[k][i] / p[i][i];
      for(int j = i; j < n; ++j) p[k][j] = p[k][j] - p[i][j] * mul;
    }
    if( Abs(p[i][i]) < eps ) { ans = 0.0; return ; }
  }
  for(int i = 1; i < n; ++i) ans = ans * p[i][i];
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
  freopen("nanjolno.in", "r", stdin);
  freopen("nanjolno.out", "w", stdout);

  scnaf("%d", &n), tmp = 1.0, ans = 1.0;
  for(int i = 1; i <= n; ++i) for(int j = 1; j <= n; ++j) {
    scnaf("%lf", &p[i][j]);
    if( i < j ) tmp = tmp * (1.0 - p[i][j]);
    p[i][j] = p[i][j] < eps ? eps : min(p[i][j], 1.0 - eps);
    p[i][j] = p[i][j] / (1.0 - p[i][j]);
  }
  for(int i = 1; i <= n; ++i)
    for(int j = 1; j <= n; ++j) if( i != j ) p[i][i] = p[i][i] - p[i][j];
  Gaussian(), printf("%.6lf\n", Abs(ans * tmp));

  fclose(stdin), fclose(stdout);
  return 0;
}

　

其他题目：
\([SHOI2016]\) 黑暗前的幻想乡
\([HEOI2015]\) 小Z的房间
\([FJOI2007]\) 轮状病毒
\([JSOI2008]\) 最小生成树计数

　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　林下带残梦，叶飞时忽惊。