导数与微分计算

导数与微分计算

• 一般函数：

  • 基本求导公式
  • 四则运算
  • 对数求导法（对于多项相乘、相除、开方、乘方）

• 分段函数（分两步）：

  1. 定义法：在分段点处用导数定义，根据$f_{-}^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)$是否成立来判断

  2. 公式法：在非分段点处用基本求导公式求导

• 复合函数：

  $$\{f[g(x)]{\}}^{\prime }=f^{\prime }[g(x)]\cdot g^{\prime }(x)$$

• 反函数：

  • 一阶：$\varphi (y)=\frac{1}{f(x)}$
  • 二阶：$x_{yy}^{″}=\frac{-y_{xx}^{″}}{(y_x^{\prime }{)}^3}$

• 隐函数：

  方程两边对自变量x求导，得到一个关于$y^{\prime }$的方程，解这个方程

• 参数方程所确定的函数$x=\varphi (t),y=\psi (t)$：

  • 一阶：$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\varphi }^{\prime }(t)}$

  • 二阶：$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{{\psi }^{″}(t){\varphi }^{\prime }(t)-{\psi }^{\prime }(t){\varphi }^{″}(t)}{[{\varphi }^{\prime }(t){]}^3}$

• 幂指函数$u(x{)}^{v(x)}$：

  • 对数求导法
  • $u(x{)}^{v(x)}=e^{v(x)lnu(x)}$

• 变限积分求导

  变限积分求导公式如下

  $$F^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}[{\int }_{{\varphi }_1(x)}^{{\varphi }_2(x)}f(t)dt]=f[{\varphi }_2(x)]{\varphi }_2^{\prime }(x)-f[{\varphi }_1(x)]{\varphi }_1(x)$$

• 高阶导数