算函数极限

算函数极限

$limf(x)$有以下六种趋近方式

$x\to \mathrm{\infty }:x\to +\mathrm{\infty },x\to -\mathrm{\infty }$

$x\to x_0:x\to x_0^{+},x\to x_0^{-}$

算极限的步骤

1. 化简

   1. 提出极限不为0的因式
   2. 等价无穷小替换
   3. 恒等变形
      • 基本恒等变形：提公因式、拆项、合并、分子分母同除最高次幂
      • 高级恒等变形：换元

2. 确定未定式类型

   $\frac{0}{0}、\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}、0\ast \mathrm{\infty }、\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }、{\mathrm{\infty }}^0、0^0、1^{\mathrm{\infty }}$

3. 选方法

   1. 运算规则
   2. 夹逼准则
   3. 洛必达法则
   4. 泰勒公式
   5. 归结定理

例题

1. $li{m}_{x\to 0^{+}}\frac{\sqrt{x}}{x-e^{2\sqrt{x}}+1}$

   化简：换元

   未定式类型：$\frac{0}{0}$

   选方法：洛必达法则

不同未定式类型的求解思路

1. 对于$\frac{0}{0}、\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}、0\ast \mathrm{\infty }$这三种基本类型，就是应用上面的求解思路，这三种在化简和选方法两方面都会考察。

2. 对于$\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$型，有以下两种思路：一、有分母就通风，化为第一组类型；二、提取公因式或倒代换，出现分母后通风，化为第一组类型。

3. 对于${\mathrm{\infty }}^0、0^{\mathrm{\infty }}、1^{\mathrm{\infty }}$这三种类型，采用以下公式化为第一组类型：

   $$lim{u}^v=e^{limvlnu}$$

   特别地，对于$1^{\mathrm{\infty }}$类型，由于$u\to 1$，因此有如下变化：

   $$lim{u}^v=e^{limv(u-1)}$$

总结，可见第一组的三种类型是基础中的基础，应该好好训练。