探讨数列极限

探讨数列极限

数列是什么

数列就是一种对应关系，它的取值只能是正整数，如

{$n/n+1$} = 1/2 , 2/3 , ... , n/n+1, ...

写成函数就是 f(x) = x/x+1 , x取正整数

f(1) = 1/2

f(2) = 2/3

...

f( $+\mathrm{\infty }$ ) = ?

数列极限是什么

我们想要直到当n趋于无穷，f( $+\mathrm{\infty }$ )是什么的时候就引出了数列极限。

从极限来看，应用洛必达法则可以很容易得到，

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{n}{n+1}=1$$

上述说到，趋于正无穷的时候，n/n+1就趋于1；怎么定义趋于1这个行为呢？

我们引入了$\epsilon$ ，$\epsilon$ 是任意的且大于0，当$x_n$ 和1 的距离小于$\epsilon$ 时，就认为趋于1。可以这么理解，当两个值的距离比任意正值都小的时候，是不是这两个值可以认为是无限接近的了。

然后，我们就引入一个正整数N，存在一个N，使得当n>N的时候，就表现出趋于1这个行为。

而趋于正无穷就一定大于N(一个存在的数)，因此我们可以得到数列极限的定义：

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}=a<==>\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }N\in N_{+},\mathrm{当}n>N\mathrm{时}，\mathrm{恒}\mathrm{有}|x_n-a|<\epsilon$

对于任意的$\epsilon$大于0，存在一个N属于正整数，当n大于N时，表现出趋于a的行为

来试一下定义解题

证明 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{q}^n$= 0 (q为常数且|q|<1)

我们的思路是，找到一个N使得$|q^n-0|<\epsilon$

做法如下：

1. 先写距离：$|x_n-\alpha |<\epsilon$
2. 反解出n的范围：n>$g(\epsilon )$
3. 取N = [$g(\epsilon )$]+1

发散&&收敛

发散：就是不存在$a$使得$li{m}_{n\to +\mathrm{\infty }}=a$成立

收敛：存在这个$a$

数列收敛和子列收敛的关系

1. 数列收敛则其任何子列收敛
2. 一个子列发散，则其数列一定发散（可判断数列是否发散）
3. 两个不同子列（一般看2k和2k-1）收敛到不同极限，则其数列一定发散（可判断数列是否发散）

一些性质

1. 唯一性：如果数列极限存在为a，则a一定是唯一的。

2. 有界性：数列极限存在，则数列有界

3. 保号性：数列极限存在为a，当a>(<)0时，在n>N(上文定义提到的)时，有$a_n>(<)0$

   保号性在后续函数极限也会有，其实就是在趋于极限那个状态时，有极限值和函数值符号一致

4. 极限运算规则（注意：$li{m}_{n\to \mathrm{\infty }}{x}_n=a,li{m}_{n\to \mathrm{\infty }}{y}_n=b$时才成立，即两个拆开后两个极限要存在）

   • 加减
   • 乘法
   • 除法（b 和 y_n不等于0）

5. 夹逼准则

6. 单调有界准则：单调有界数列必有极限，单调增且有上界/单调减且有下界==>极限存在

分析一个数列极限

分析一个数列极限，一般分析极限存不存在，存在则求其值：

1. 定义法证明是否存在，有以下两种题型（证明）：

   • 直接证明极限
   • 已知一个极限，证明另外一个极限

2. 证明数列发散，通过子列发散或者两个子列收敛不一致

3. 通过夹逼准则证明存在同时求值（题型一般为 求前n项和的极限）

   这里要结合后面的定积分定义考虑情况，

   • 如果能凑出$f(\frac{i}{n})$则用定积分定义
   • 不能就用夹逼准则

4. 通过运算法则（这里要注重代数恒等变形）

5. 如果遇到递推关系（$a_n$和$a_{n+1}$的关系）就直接考虑 单调有界准则