第二类斯特林数小记
第一类斯特林数没弄懂，先咕了。
对于第二类斯特林数记做 \(\begin{Bmatrix}n\\ m\end{Bmatrix}\)，也可记做 \(S(n,m)\)，表示将 \(n\) 个两两不同的元素，划分到 \(m\) 个互不区分的非空集合的方案数。
递推式
\[\begin{Bmatrix}n\\ m\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1\\ m-1\end{Bmatrix}+m×\begin{Bmatrix}n-1\\ m\end{Bmatrix}
\]
边界是 \(\begin{Bmatrix}n\\ 0\end{Bmatrix}=[n=0]\)
证明：
新插入一个元素时，有两种方案：
- 将新元素放进一个新集合里，方案数为 \(\begin{Bmatrix}n-1\\ m-1\end{Bmatrix}\)
- 将新元素放进一个原来有的集合里，方案数为 \(m×\begin{Bmatrix}n-1\\ m\end{Bmatrix}\)
最后用加法原理相加即可。
通项公式
\(\begin{Bmatrix}n\\ m\end{Bmatrix}=\frac{1}{m!}\sum_{i=0}^m(-1)^{m-i}\tbinom{m}{i}i^n\)
简单理解就是每次钦定有多少个集合有元素，再容斥一下解决，最后因为无序，再除以个 \(\frac{1}{m!}\)。
证明：
证明采取二项式反演，设 \(f(i)\) 为将 \(n\) 个元素划分成 \(i\) 个两两不同的集合的方案数（允许有空集），\(g(i)\) 为将 \(n\) 个元素划分成 \(i\) 个两两不同的非空集合的方案数（不允许有空集）
易得
\[f(i)=i^n\\
f(i)=\sum_{j=0}^i\tbinom{i}{j}g(j)
\]
那么反演一下：
\[g(i)=\sum_{j=0}^i(-1)^{i-j}\tbinom{i}{j}f(j)\\
g(i)=\sum_{j=0}^i(-1)^{i-j}\tbinom{i}{j}j^n
\]
根据定义可得 \(\frac{1}{m!}g(m)=\begin{Bmatrix}n\\ m\end{Bmatrix}\)
那么更常用的一种写法是
\[\begin{Bmatrix}n\\ i\end{Bmatrix}=\frac{1}{i!}\sum_{j=0}^i\frac{(-1)^{i-j}j^ni!}{j!(i-j)!}\\
\begin{Bmatrix}n\\ i\end{Bmatrix}=\sum_{j=0}^i\frac{(-1)^{i-j}j^n}{j!(i-j)!}
\]
一种技巧就是设 \(f_i=\frac{(-1)^i}{i!}\)，\(g_i=\frac{i^n}{i!}\)，然后
\[\begin{Bmatrix}n\\ m\end{Bmatrix}=\sum_{i=0}^mf_i*g_{m-i}
\]
\(NTT\) 优化一下。
有一个应用：
\[m^n=\sum_{i=0}^{\min(n,m)}\begin{Bmatrix}n\\ i\end{Bmatrix}\binom{m}{i}i!
\]
证明：\(m^n\) 可以理解为 \(n\) 个物品放到 \(m\) 个不同的盒子里，而后面的式子意思就是枚举 \(i\) 个盒子有数，然后从 \(m\) 个盒子中选出 \(i\) 个进行全排列，意思是等价的。
