NOIP 模拟 $20\; \rm 玩具$

题解 \(by\;zj\varphi\)

一道概率与期望好题

对于一棵树，去掉根后所有子树就是一个森林，同理，一个森林加一个根就是一棵树

设 \(f_{i,j}\) 为有 \(i\) 个点的树，高度为 \(j\) 的期望，那么 \(f_{i,j}=g_{i-1,j-1}\) 其中 \(g_{i,j}\) 表示有 \(i\) 个点的森林深度为 \(j\) 的概率

一个森林也可以看成是一棵树加上一个森林

至于 \(g\)，\(g_{i,j}=\sum_{k=1}^{i}f_{k,j}g_{i-k,j}dp_{i,k}\) 其中 \(dp_{i,k}\) 就是一个有 \(i\) 个点的森林，有 \(k\) 个构成了一棵树

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define ri register int
#define p(i) ++i
using namespace std;
namespace IO{
    char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
    #define gc() p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++
    template<typename T>inline void read(T &x) {
        ri f=1;x=0;register char ch=gc();
        while(ch<'0'||ch>'9') {if (ch=='-') f=0;ch=gc();}
        while(ch>='0'&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=gc();}
        x=f?x:-x;
    }
}
using IO::read;
namespace nanfeng{
    // #define int long long
    #define FI FILE *IN
    #define FO FILE *OUT
    template<typename T>inline T cmax(T x,T y) {return x>y?x:y;}
    template<typename T>inline T cmin(T x,T y) {return x>y?y:x;}
    typedef long long ll;
    static const int N=220;
    int dp[N][N],f[N][N],g[N][N],inv[N],n,p,ans;
    inline int fpow(int x,int y) {
        ri res=1;
        while(y) {
            if (y&1) res=(ll)res*(ll)x%p;
            x=(ll)x*x%p;y>>=1;
        }
        return res;
    }
    inline int main() {
        // FI=freopen("nanfeng.in","r",stdin);
        // FO=freopen("nanfeng.out","w",stdout);
        read(n),read(p);
        for (ri i(2);i<=n;p(i)) inv[i]=fpow(i,p-2);
        dp[1][0]=dp[1][1]=1;
        for (ri i(2);i<=n;p(i)) {
            for (ri j(1);j<=i;p(j)) {
                dp[i][j]=(ll)dp[i-1][j-1]*(j-1)%p*inv[i]%p+(ll)dp[i-1][j]*(i-j)%p*inv[i]%p;
                dp[i][j]%=p;
            }
        }
        for (ri i(0);i<=n;p(i)) f[0][i]=g[0][i]=1;
        for (ri i(1);i<=n;p(i)) 
            for (ri j(i-1);j<n;p(j)) f[i][j]=g[i][j]=1;
        for (ri i(2);i<=n;p(i)) {
            for (ri j(0);j<i-1;p(j)) {
                if (j) f[i][j]=g[i-1][j-1];
                for (ri k(1);k<=i;p(k)) {
                    g[i][j]+=(ll)f[k][j]*g[i-k][j]%p*dp[i][k]%p;
                    g[i][j]%=p;
                }
            }
        }
        for (ri i(1);i<n;p(i)) ans+=(ll)i*((f[n][i]-f[n][i-1]+p)%p)%p,ans%=p;
        printf("%d\n",ans);
        return 0;
    }  
}
int main() {return nanfeng::main();}