NOIP 模拟 $12\; \text{简单的玄学}$

题解

有些难度

对于 \(30pts\) 直接暴力

对于 \(70pts\) 发现规律 \(2^n-a\) 与 \(a\;\;(a\in [1,2^n))\) 分解质因数后，\(2\) 的次数相同

\(100pts\)

对于至少有两个数相同，我们可以转化为 \(1-p(\text{所有数均不相同})\)，那么 \(p(\text{所有数均不相同})=\frac{A_{2^n}^m}{2^{nm}}\)

对于这个式子，我们发现，上下能约分的因子只有 \(2\)，根据上文，我们可以把求 \(A_{2^n}^m\) 质因子中 \(2\) 的次数转化为求 \((m-1)!\) 中的

那么对于这个求 \((m-1)!\) 中的 \(2\) 的次数可以 \(logm\) 求，具体做法是

for (register int i(2);i<m;i<<=1) cnt2+=(m-1)/i;

证明：

当 \(i=2\) 时，我们可以把 cnt2+=(m-1)/i 看成求 \(1～m-1\) 中有多少个数质因子中至少有一个 \(2\)，其他情况同理

然后再根据逆元求即可

记得开 long long

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define ri register signed
#define p(i) ++i
using namespace std;
namespace IO{
    char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
    #define gc() p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++
    template<typename T>inline void read(T &x) {
        ri f=1;x=0;register char ch=gc();
        while(ch<'0'||ch>'9') {if (ch=='-') f=0;ch=gc();}
        while(ch>='0'&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=gc();}
        x=f?x:-x;
    }
}
using IO::read;
namespace nanfeng{
    #define int long long
    #define cmax(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
    #define cmin(x,y) ((x)>(y)?(y):(x))
    #define FI FILE *IN
    #define FO FILE *OUT
    static const int MOD=1e6+3;
    int bs,n,m,cnt2,fz,fm;
    inline int fpow(int a,int b) {
        int res=1;
        while(b) {
            if (b&1) res=res*a%MOD;
            a=a*a%MOD;b>>=1;
        }
        return res;
    }
    inline int main() {
        // FI=freopen("nanfeng.in","r",stdin);
        // FO=freopen("nanfeng.out","w",stdout);
        // printf("%lld\n",fpow(2,1e6+1));
        read(n),read(m);
        if (log2(m)>(double)n) {puts("1,1");return 0;}
        bs=fpow(2,n);
        fm=fpow(bs,m-1);
        if (m<=MOD) {
            fz=1;
            for (ri i(1);i<m;p(i)) fz=fz*(bs-i+MOD)%MOD;
        } 
        for (register int i(2);i<m;i<<=1) cnt2+=(m-1)/i;
        int inv=fpow(fpow(2,cnt2),MOD-2);
        fz=fz*inv%MOD,fm=fm*inv%MOD;
        printf("%lld %lld\n",(fm-fz+MOD)%MOD,fm);
        return 0;
    } 
    #undef int
}
int main() {return nanfeng::main();}

证明一下 \(2^n-a\) 与 \(a\) 分解质因数后，\(2\) 的次数相同：

\(2^n\) 的二进制可以表示为 \(10000...0\)，\(1\) 后面 \(n\) 个 \(0\)，那么对于 \(a\)，其二进制下最低一位 \(1\) 所对应的 \(2^n\) 的那一位一定为 \(0\)

那么，\(2^n-a\) 的最低一位 \(1\) 一定与 \(a\) 的相同，而最低一位 \(1\) 代表它分解质因数后 \(2\) 的次数为几。

举例：

\(n=5,a=11\)，则 \(n=100000\)，\(a=1011\)，\(2^5-a=10101\)