题解 P3643 [APIO2016]划艇

题解

一种思路很好想：\(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 所学校中，第 \(i\) 所学校参赛且派出 \(j\) 艘划艇的方案数。（转移就不列了。）

这种方式有一个致命点，就是 \(j\) 的范围是 \(10^9\)，这样连 \(9\) 分都过不去。当我们看到这么大数据范围时，一般想的都是离散化。

此时我们就可以设状态为：\(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 所学校中第 \(i\) 所学校参赛，且派出的划艇数落到第 \(j\) 个区间的方案数。因为一共有 \(n\) 个区间，所以 \(j\) 复杂度最多为 \(\mathcal O(n)\)。

所以在第 \(i\) 所学校之前的学校可以分为两种，在区间 \(j\) 的和不在的。

引理 ：

若要从 \([0,L]\) 中选出 \(n\) 个数，其中非零数严格递增，则有 \((^{L+n}_{\kern 0.6em n})\) 种可能

（证明请看别的大佬的题解）

那么对于本题来说，因为我们设的第 \(i\) 所学校必须参赛，所以计算 \(0\) 时答案需要减 \(-1\) ，方案数即为 \((^{m-1+L}_{\;\;\;\ m})\)，\(m\) 表示挑选划艇个数在第 \(j\) 个区间的学校的数量。

那么转移方程容易得出：

\[f_{i,j}=\left\{ \begin{array}{l} \sum_{p=1}^{i-1}\sum_{k=1}^{j-1}(^{m+L-1}_{\;\;\;\ m})f_{p,k} \kern 1.5emj\in [a_i,b_i] \\ 0 \kern 10.8emj\notin [a_i,b_i]\\ \end{array} \right. \]

对于 \(\sum_{p=1}^{i-1}\sum_{k=1}^{j-1}(^{m+L-1}_{\;\;\;\ m})f_{p,k}\) 我们可以用一个前缀和处理一下

则设 \(g_{i,j}=\sum_{k=1}^{j}f_{i,k}\)

那么最后的转移为

\[f_{i,j}=\sum_{p=1}^{i-1}(^{m+L-1}_{\;\;\;\ m})g_{p,j-1} \;\;\;\ j\in[a_i,b_i] \]

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define ri register int
#define p(i) ++i
using namespace std;
namespace IO{
    char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
    inline char gc() {return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
    inline int read() {
        ri x=0,f=1;char ch=gc();
        while(ch<'0'||ch>'9') {if (ch=='-') f=-1;ch=gc();}
        while(ch>='0'&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=gc();}
        return x*f;
    }
}
using IO::read;
namespace nanfeng{
    #define ll long long
    static const int N=550;
    static const int MOD=1e9+7;
    int inv[N],a[N],b[N],num[N<<1],C[N],g[N],tot,n;
    inline int main() {
        n=read();
        inv[1]=1;
        for (ri i(2);i<=n;p(i)) inv[i]=1ll*(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD;
        for (ri i(1);i<=n;p(i)) {
            a[i]=read(),b[i]=read();
            num[p(tot)]=a[i];num[p(tot)]=b[i]+1;
        }
        sort(num+1,num+tot+1);
        tot=unique(num+1,num+tot+1)-num-1;
        for (ri i(1);i<=n;p(i)) {
            a[i]=lower_bound(num+1,num+tot+1,a[i])-num;
            b[i]=lower_bound(num+1,num+tot+1,b[i]+1)-num;
        }
        C[0]=g[0]=1;
        for (ri j(1);j<tot;p(j)) {
            int len=num[j+1]-num[j];
            for (ri i(1);i<=n;p(i)) C[i]=(ll)C[i-1]*(ll)(len+i-1)%MOD*inv[i]%MOD;
            for (ri i(n);i;--i) {
                if (a[i]<=j&&j+1<=b[i]) {
                    int f=0,cnt=1,l=C[1];
                    for (ri k(i-1);k>=0;--k) {
                        f=(f+(ll)l*g[k]%MOD)%MOD;
                        if (a[k]<=j&&j+1<=b[k]) l=C[p(cnt)];
                    }
                    g[i]=(g[i]+f)%MOD;
                }
            } 
        }
        int ans=0;
        for (ri i(1);i<=n;p(i)) ans=(ans+g[i])%MOD;
        printf("%lld\n",ans);
        return 0;
    }
    // #undef int
}
int main() {return nanfeng::main();}

复杂度为 \(\mathcal O(n^3)\)