Bzoj 1911: [Apio2010]特别行动队(斜率优化)

1911: [Apio2010]特别行动队
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Description

Input

Output

Sample Input
4
-1 10 -20
2 2 3 4
Sample Output
9

/*
暴力50.
令f[i]表示1到i的最大战斗力.
f[i]=max(f[i],f[j]+
(s[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j])*a+(sum[i]-sum[j])*b+c)
方程显然.
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define MAXN 10001
#define LL long long
using namespace std;
LL f[MAXN],n,sum[MAXN],a,b,c;
int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*f;
}
void slove()
{
    memset(f,-127/3,sizeof f);f[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<i;j++)
          f[i]=max(f[i],f[j]+
          (sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j])*a+(sum[i]-sum[j])*b+c);
    }
    cout<<f[n];
}
int main()
{
    int x;
    n=read();
    a=read(),b=read(),c=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) x=read(),sum[i]=sum[i-1]+x;
    slove();
    return 0;
}

/*
斜率优化.
考虑有一个y>x,且y的决策值比x优.
则有
f[y]+a*(sum[y]-sum[i])*(sum[y]-sum[i])-b*(sum[y]-sum[i])
 > f[x]+a*(sum[x]-sum[i])*(sum[x]-sum[i])-b*(sum[x]-sum[i]).
整理得:(f[y]+a*sum[y]*sum[y]-b*sum[y])-(f[x]+a*sum[x]*sum[x]-b*sum[x]) 
>2*a*(sum[j]-sum[k])*sum[i].
so  (f[y]+a*sum[y]*sum[y]-b*sum[y])-(f[x]+a*sum[x]*sum[x]-b*sum[x])/(sum[j]-sum[k])
>2*a*sum[i]
（注意a小于0）。
由题可知,sum[i]是单调递增的,
so 如果上面那个东西<sum[i],则一定<sum[i+1].
所以这时x的决策值不会影响答案.
我们用单调队列维护一个上凸性质,
用队首元素更新答案即可.
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define MAXN 1000001
#define LL long long
using namespace std;
LL f[MAXN],n,sum[MAXN],a,b,c,q[MAXN],head,tail;
int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*f;
}
double F(int x)
{
    return f[x]+a*sum[x]*sum[x]-b*sum[x];
}
double check(int x,int y)
{
     return double(F(y)-F(x))/double((sum[y]-sum[x])*a*2);
}
void slove()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(head<tail&&check(q[head],q[head+1])<sum[i]) head++;
        f[i]=f[q[head]]+a*(sum[i]-sum[q[head]])*(sum[i]-sum[q[head]])+b*(sum[i]-sum[q[head]])+c;
        while(head<tail&&check(q[tail],i)<check(q[tail-1],q[tail])) tail--;
        q[++tail]=i;
    }
    cout<<f[n];
}
int main()
{
    int x;
    n=read();
    a=read(),b=read(),c=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) x=read(),sum[i]=sum[i-1]+x;
    slove();
    return 0;
}