工程数学实验二

所花时间：2小时

代码量：如下

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了解到的知识点：工程数学

实验二：最速下降法程序设计

一、实验目的

通过最速下降法的程序设计，为今后的约束优化方法的学习和编程奠定基础；掌握负梯度方向 的定义和最速下降法的迭代公式 ；通过此次实验，进一步巩固最速下降法的基本 原理和思想。

二、实验内容

    1、主要内容

（1）求解无约束优化问题： ；

（2）终止准则取 ；

（3）完成最速下降法（负梯度法）的 MATLAB 编程、调试；

（4）要求选取多个不同的初始点，并给出迭代次数，最优函数值等相关信息，有能力的同学尝 试画出最优值随迭代次数变化的曲线图；

（5）按照模板撰写实验报告，要求规范整洁。

2、操作要点

（1）最速下降法 Matlab 的实现；

（2）学会分析实验结果；

（3）撰写实验报告；

3、主要仪器设备

微机及 Matlab 软件

三、算法步骤、代码、及结果

   1. 算法步骤

1）  .选择初始点$x_0$和迭代停止准则。迭代停止准则通常有两种：一种是预设的最大迭代次数，另一种是设定一个小于零的目标函数相对误差，当误差小于该值时认为已达到最优解。

2）  .计算当前点$x_k$的梯度$g_k=f’(x_k)$。

3）  .计算沿最陡峭方向的步长$t_k$。最陡峭方向就是负梯度方向$-g_k$，步长可以使用线性搜索或其他优化算法来确定。一般使用线搜索，即求解$\min\limits_{t>0}f(x_k-tg_k)$。

4）  .更新当前点$x_k$，即$x_{k+1}=x_k-t_kg_k$。

5）  .判断是否满足迭代停止准则。如果满足，算法停止；否则回到第2步，继续迭代。

   2. 代码

代码一：

function [x, fval, iter] = steepestDescent(f, gradient, x0, epsilon)
% 最速下降法求解无约束优化问题
% 输入：
%     f: 目标函数句柄
%     gradient: 目标函数梯度句柄
%     x0: 初始点
%     epsilon: 终止准则
% 输出：
%     x: 最优解
%     fval: 最优函数值
%     iter: 迭代次数

k = 0;  % 迭代次数
x = x0;  % 初始点为 x0
fx = feval(f, x);  % 计算目标函数值
grad = feval(gradient, x);  % 计算目标函数梯度
while norm(grad) > epsilon
    % 使用 Armijo 搜索确定步长
    alpha = 1;  % 初始步长
    while feval(f, x - alpha * grad) > fx - 1e-4 * alpha * norm(grad)^2
        alpha = 0.5 * alpha;  % 减少步长
    end
    
    % 更新点
    x = x - alpha * grad;
    fx = feval(f, x);
    grad = feval(gradient, x)
    % 统计迭代次数
    k = k + 1;
end
% 返回结果
fval = fx;
iter = k;
end

代码二：% 目标函数
f = @(x) (x(1)-1)^2 + (x(2)-2)^2;
% 梯度函数
grad = @(x) [2*(x(1)-1); 2*(x(2)-2)];
% 初始点
x0 = [0; 0];
% 终止准则
epsilon = 1e-6;
% 求解
[x, fval, iter] = steepestDescent(f, grad, x0, epsilon);
% 输出结果
disp(['最优解为：(', num2str(x(1)), ', ', num2str(x(2)), ')']);
disp(['最优函数值为：', num2str(fval)]);
disp(['迭代次数：', num2str(iter)]);

   3. 结果