2/23每日总结

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了解到的知识点：学习了工程数学。

在今天我上午上了工程数学，然后下午进行了体育考试，之后我继续学习Android stuido 和 四级因为在3/12会考四级。

1. 牛顿法

牛顿法是一种利用 Taylor 展开式求解函数最小值的方法，它基于以下思想：如果我们在函数的某个点上能够找到这个函数的切线，那么这个切线与函数的交点可能比原点更接近最小值。

设 $f(x)$ 为待求函数，$x_0$ 为初始点，求解 $f(x)$ 的最小值，迭代过程如下：

1. 计算 $f(x)$ 在 $x_0$ 点的一阶导数 $f’(x_0)$ 和二阶导数 $f’'(x_0)$。

2. 则函数在 $x_0$ 点的 Taylor 展开式为：

$$f(x) \approx f(x_0) + f’(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2} f’'(x_0)(x-x_0)^2$$

3. 将 $f’(x) = 0$ 代入上式，得到下一个极小点的近似值为：

$$x_1 = x_0 - \frac{f’(x_0)}{f’'(x_0)}$$

4. 不断重复以上步骤，直到满足停止迭代的条件。

由于牛顿法需要计算二阶导数，因此其计算量较大，但收敛速度相对较快。

2. 最速下降法

最速下降法是一种简单的迭代算法，其基本思想是：在当前点处按梯度方向找到一个步长 $\alpha$，更新当前点，使得函数值能够尽可能地减小。

设 $f(x)$ 为待求函数，$x_0$ 为初始点，求解 $f(x)$ 的最小值，迭代过程如下：

1. 计算 $f(x)$ 在 $x_0$ 点的梯度向量 $\nabla f(x_0)$。

2. 沿着负梯度方向找到一个步长 $\alpha$，更新当前点 $x_0$，计算下一个点 $x_1$：

$$x_1 = x_0 - \alpha \nabla f(x_0)$$

3. 不断重复以上步骤，直到满足停止迭代的条件。

最速下降法的优点是计算量较小，但其收敛速度较慢，对于某些复杂函数而言，可能需要较多的迭代次数才能达到最小值。

综上所述，牛顿法和最速下降法是两种常用的求解函数最小值的迭代算法，各有优缺点，需要根据实际问题选择合适的方法。