红黑树原理和算法介绍

一、红黑树介绍

什么是红黑树？

　　红黑树是一种自平衡二叉查找树，是计算机科学领域中的一种数据结构，典型的用途是实现关联数组，存储有序的数据。它是在1972年由Rudolf Bayer发明的，别称"对称二叉B树"，它现代的名字由 Leo J. Guibas 和 Robert Sedgewick 于1978年写的一篇论文中获得的。它是复杂的，但它的操作有着良好的最坏情况运行时间，并且在实践中是高效的。它可以在O(logn)时间内做查找，插入和删除，这里的n是树的结点个数。

　　红黑树和平衡二叉树(AVL树)都是二叉查找树的变体，但红黑树的统计性能要好于AVL树。因为，AVL树是严格维持平衡的，红黑树是黑平衡的。维持平衡需要额外的操作，这就加大了数据结构的时间复杂度，所以红黑树可以看作是二叉搜索树和AVL树的一个折中，维持平衡的同时也不需要花太多时间维护数据结构的性质。红黑树在很多地方都有应用，例如：

C++的STL，map和set都是用红黑树实现的。
著名的linux进程调度Completely Fair Scheduler，用红黑树管理进程控制块。
epoll在内核中的实现，用红黑树管理事件块。
nginx用红黑树管理timer等。
Java的TreeMap实现。

红黑树简介：

　　R-B Tree，全称是Red-Black Tree，又称为“红黑树”，是一种特殊的二叉查找树。红黑树的每个结点上都有存储位表示结点的颜色，可以是红(Red)或黑(Black)。

红黑树的特性:

每个结点是黑色或者红色。
根结点是黑色。
每个叶子结点（NIL）是黑色。 [注意：这里叶子结点，是指为空(NIL或NULL)的叶子结点！]
如果一个结点是红色的，则它的子结点必须是黑色的。
每个结点到叶子结点NIL所经过的黑色结点的个数一样的。[确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，所以红黑树是相对接近平衡的二叉树的！]

图1（红黑树）

二、红黑树基本操作　　

　　红黑树的基本操作是添加、删除。在对红黑树进行添加或删除之后，都会用到旋转方法。为什么呢？道理很简单，添加或删除红黑树中的结点之后，红黑树的结构就发生了变化，可能不满足红黑树的5条性质，也就不再是一颗红黑树了，而是一颗普通的树。而通过旋转和变色，可以使这颗树重新成为红黑树。简单点说，旋转和变色的目的是让树保持红黑树的特性：自平衡二叉树。
旋转包括两种：左旋和右旋。下面分别对它们进行介绍：

左旋：以某个结点作为支点(旋转结点)，其右子结点变为旋转结点的父结点，右子结点的左子结点变为旋转结点的右子结点，其左子结点保持不变。如图2。

右旋：以某个结点作为支点(旋转结点)，其左子结点变为旋转结点的父结点，左子结点的右子结点变为旋转结点的左子结点，其右子结点保持不变。如图3。

变色：结点的颜色由红变黑或由黑变红。

1.左旋

图2（左旋图）

左旋算法：

LEFT-ROTATE(T, x)  
 y ← right[x]            // 前提：这里假设x的右孩子为y。下面开始正式操作
 right[x] ← left[y]      // 将 “y的左孩子” 设为 “x的右孩子”
 p[left[y]] ← x          // 将 “x” 设为 “y的左孩子的父亲”
 p[y] ← p[x]             // 将 “x的父亲” 设为 “y的父亲”
 if p[x] = nil[T]       
 then root[T] ← y                 // 情况1：如果 “x的父亲” 是空节点，则将y设为根节点
 else if x = left[p[x]]  
           then left[p[x]] ← y    // 情况2：如果 x是它父节点的左孩子，则将y设为“x的父节点的左孩子”
           else right[p[x]] ← y   // 情况3：(x是它父节点的右孩子) 将y设为“x的父节点的右孩子”
 left[y] ← x             // 将 “x” 设为 “y的左孩子”
 p[x] ← y                // 将 “x的父节点” 设为 “y”

2.右旋

图3（右旋图）

右旋算法：

RIGHT-ROTATE(T, y)  
 x ← left[y]             // 前提：这里假设y的左孩子为x。下面开始正式操作
 left[y] ← right[x]      // 将 “x的右孩子” 设为 “y的左孩子”
 p[right[x]] ← y         // 将 “y” 设为 “x的右孩子的父亲”
 p[x] ← p[y]             // 将 “y的父亲” 设为 “x的父亲”
 if p[y] = nil[T]       
 then root[T] ← x                 // 情况1：如果 “y的父亲” 是空结点，则将x设为根结点
 else if y = right[p[y]]  
           then right[p[y]] ← x   // 情况2：如果 y是它父结点的右孩子，则将x设为“y的父结点的左孩子”
           else left[p[y]] ← x    // 情况3：(y是它父结点的左孩子) 将x设为“y的父结点的左孩子”
 right[x] ← y            // 将 “y” 设为 “x的右孩子”
 p[y] ← x                // 将 “y的父结点” 设为 “x”

我们先忽略颜色，可以看到旋转操作不会影响旋转结点的父结点，父结点以上的结构还是保持不变的。

　　左旋只影响旋转结点和其右子树的结构，把右子树的结点往左子树挪了。

　　右旋只影响旋转结点和其左子树的结构，把左子树的结点往右子树挪了。

　　所以旋转操作是局部的。另外可以看出旋转能保持红黑树平衡的一些端详了：当一边子树的结点少了，那么向另外一边子树“借”一些结点；当一边子树的结点多了，那么向另外一边子树“租”一些结点。

但要保持红黑树的性质，结点不能乱挪，还得靠变色了。怎么变？具体情景又不同变法，后面会具体讲到，现在只需要记住红黑树总是通过旋转和变色达到自平衡。

3.添加

图4（插入结点流程图）

插入算法：

RB-INSERT(T, z)  
 y ← nil[T]                        // 新建结点“y”，将y设为空结点。
 x ← root[T]                       // 设“红黑树T”的根结点为“x”
 while x ≠ nil[T]                  // 找出要插入的结点“z”在二叉树T中的位置（父结点），即“y”结点要存放的位置
     do y ← x                      
        if key[z] < key[x]  
           then x ← left[x]  
           else x ← right[x]  
 p[z] ← y                          // 设置 “z的父亲” 为 “y”
 if y = nil[T]                     
    then root[T] ← z               // 情景1：若y是空结点，则将z设为根结点
    else if key[z] < key[y]        
            then left[y] ← z       // 情景2：若“z的key值” < “y的key值”，则将z设为“y的左孩子”
            else right[y] ← z      // 情景2：若“z的key值” >= “y的key值”，则将z设为“y的右孩子” 
 left[z] ← nil[T]                  // z的左孩子设为空
 right[z] ← nil[T]                 // z的右孩子设为空。至此，已经完成将“结点z插入到二叉树”中了。
 color[z] ← RED                    // 将z着色为“红色”
 RB-INSERT-FIXUP(T, z)             // 通过RB-INSERT-FIXUP对红黑树的结点进行颜色修改以及旋转，让树T仍然是一颗红黑树

插入修正算法：

RB-INSERT-FIXUP(T, z)
 while color[p[z]] = RED                                            // 若“当前结点(z)的父结点是红色”，则进行以下处理。
    do if p[z] = left[p[p[z]]]                                      // 若“z的父结点”是“z的祖父结点的左孩子”，则进行以下处理。
          then y ← right[p[p[z]]]                                   // 将y设置为“z的叔叔结点(z的祖父结点的右孩子)”
            if color[y] = RED                                       // 4.1情景：叔叔是红色
              then color[p[z]] ← BLACK                              //  (01) 将“父结点”设为黑色。
                   color[y] ← BLACK                                 //  (02) 将“叔叔结点”设为黑色。
                   color[p[p[z]]] ← RED                             //  (03) 将“祖父结点”设为“红色”。
                   z ← p[p[z]]                                      //  (04) 将“祖父结点”设为“当前结点”(红色结点)
              else if z = right[p[z]]                               // 4.3.1情景：叔叔是黑色，且当前结点是右孩子
                    then z ← p[z]                                   //  (01) 将“父结点”作为“新的当前结点”。
                        LEFT-ROTATE(T, z)                           //  (02) 以“新的当前结点”为支点进行左旋。
                    color[p[z]] ← BLACK                             // 4.2.1情景：叔叔是黑色，且当前结点是左孩子。(01) 将“父结点”设为“黑色”。
                    color[p[p[z]]] ← RED                            //  (02) 将“祖父结点”设为“红色”。
                    RIGHT-ROTATE(T, p[p[z]])                        //  (03) 以“祖父结点”为支点进行右旋。
       else (same as then clause with "right" and "left" exchanged) // 若“z的父结点”是“z的祖父结点的右孩子”，将上面的操作中“right”和“left”交换位置，然后依次执行。
 color[root[T]] ← BLACK                                             // 情景1：若y是空结点，则将z设为根结点

　　但插入结点是为什么是红色呢？理由很简单，红色在父结点（如果存在）为黑色结点时，红黑树的黑色平衡没被破坏，不需要做自平衡操作。但如果插入结点是黑色，那么插入位置所在的子树黑色结点总是多1，必须做自平衡。

插入情况可以总结为下面这些：

情景1：
红黑树为空树
最简单的一种情景，直接把插入结点作为根结点就行，但注意，根据红黑树性质2：根结点是黑色。所以还需要把插入结点设为黑色。
处理：

把插入结点作为根结点，并把结点设置为黑色。

情景2：
插入结点的Key已存在
插入结点的Key已存在，因为红黑树总保持平衡，在插入前红黑树已经是平衡的，那么把插入结点设置为将要替代的结点颜色，再把结点的值更新就完成插入了。
处理：

把z设为当前结点的颜色。
更新当前结点的值为插入结点的值。

情景3：
插入结点的父结点为黑结点
由于插入的结点是红色的，并不会影响红黑树的平衡，直接插入即可，无需做自平衡。
处理：

直接插入。

情景4：
插入结点的父结点为红结点
再次回想下红黑树的性质2：根结点是黑色。如果插入的父结点为红结点，那么该父结点不可能为根结点，所以插入结点总是存在祖父结点。这点很重要，因为后续的旋转操作需要祖父结点的参与。

情景4.1：
叔叔结点存在并且为红结点
从红黑树性质4可以确定，祖父结点为黑结点，因为不可以同时存在两个相连的红结点。那么此时该插入子树的红黑层数的情况是：黑红红。显然最简单的处理方式是把其改为：红黑红。如图5和图6所示。
处理：

将P和S设置为黑色（当前插入结点I）
将PP设置为红色
把PP设置为当前插入结点

图5

图6

红黑树的生长是自底向上的。这点不同于普通的二叉查找树，普通的二叉查找树的生长是自顶向下的。

情景4.2：
叔叔结点不存在或为黑结点，并且插入结点的父亲结点是祖父结点的左子结点

单纯从插入前来看，也即不算情景4.1自底向上处理时的情况，叔叔结点非红即为叶子结点(Nil)。因为如果叔叔结点为黑结点，而父结点为红结点，那么叔叔结点所在的子树的黑色结点就比父结点所在子树的多了，这不满足红黑树的性质5。后续情景同样如此，不再多做说明了。

情景4.2.1：
插入结点是其父结点的左子结点
处理：

将P设为黑色
将PP设为红色
对PP进行右旋

图7

咦，可以把PP设为红色，I和P设为黑色吗？答案是可以！看过《算法：第4版》的同学可能知道，书中讲解的就是把PP设为红色，I和P设为黑色。但把PP设为红色，显然又会出现情景4.1的情况，需要自底向上处理，做多了无谓的操作，既然能自己消化就不要麻烦祖辈们啦～

情景4.2.2：
插入结点是其父结点的右子结点
这种情景显然可以转换为情景4.2.1，如图12所示，不做过多说明了。
处理：

对P进行左旋
把P设置为插入结点，得到情景4.2.1
进行情景4.2.1的处理

图8

情景4.3：
叔叔结点不存在或为黑结点，并且插入结点的父亲结点是祖父结点的右子结点
该情景对应情景4.2，只是方向反转，不做过多说明了，直接看图。

情景4.3.1：
插入结点是其父结点的右子结点
处理：

将P设为黑色
将PP设为红色
对PP进行左旋

图9

情景4.3.2：
插入结点是其父结点的左子结点
处理：

对P进行右旋
把P设置为插入结点，得到情景4.3.1
进行情景4.3.1的处理

图10

4.删除

红黑树的删除操作包括两部分工作：

查找目标结点。
删除结点后自平衡。

查找目标结点显然可以复用查找操作，当不存在目标结点时，忽略本次操作；当存在目标结点时，删除后需要做自平衡处理。删除结点后我们需要找结点来替代删除结点的位置，不然子树跟父辈结点断开了，除非删除结点刚好没子结点，那么就不需要替代。

二叉树删除结点找替代结点有3种情情景：

情景1：若删除结点无子结点，直接删除。

情景2：若删除结点只有一个子结点，用子结点替换删除结点。

情景3：若删除结点有两个子结点，用后继结点（大于删除结点的最小结点）替换删除结点。

　　情景3中可以用前继结点（小于删除结点的最大结点）替代删除结点吗？可以的。但习惯上大多都是拿后继结点来替代，后文的讲解也是用后继结点来替代。另外告诉大家一种找前继和后继结点的直观的方法（不知为何没人提过，大家都知道？）：把二叉树所有结点投射在X轴上，所有结点都是从左到右排好序的，所有目标结点的前后结点就是对应的前继和后继结点。如图11所示。

图11

接下来，讲一个重要的思路：删除结点被替代后，在不考虑结点的键值的情况下，对于树来说，可以认为删除的是替代结点！话很苍白，我们看图12。在不看键值对的情况下，图12的红黑树最终结果是删除了Q所在位置的结点！这种思路非常重要，大大简化了后文讲解红黑树删除的情景！

图12

基于此，上面所说的3种二叉树的删除情景可以相互转换并且最终都是转换为情景1！！
情景2：删除结点用其唯一的子结点替换，子结点替换为删除结点后，可以认为删除的是子结点，若子结点又有两个子结点，那么相当于转换为情景3，一直自顶向下转换，总是能转换为情景1。（根据红黑树的性质来说，只存在一个子结点的结点肯定在树末了）
情景3：删除结点用后继结点（后继结点肯定不存在左结点），如果后继结点有右子结点，那么相当于转换为情景2，否则转为为情景1。

图13

删除算法：

RB-DELETE(T, z)
if left[z] = nil[T] or right[z] = nil[T]         
   then y ← z                                  // 若“z的左孩子” 或 “z的右孩子”为空，则将“z”赋值给 “y”；
   else y ← TREE-SUCCESSOR(z)                  // 否则，将“z的后继节点”赋值给 “y”。
if left[y] ≠ nil[T]
   then x ← left[y]                            // 若“y的左孩子” 不为空，则将“y的左孩子” 赋值给 “x”；
   else x ← right[y]                           // 否则，“y的右孩子” 赋值给 “x”。
p[x] ← p[y]                                    // 将“y的父节点” 设置为 “x的父节点”
if p[y] = nil[T]                               
   then root[T] ← x                            // 若“y的父节点” 为空，则设置“x” 为 “根节点”。
   else if y = left[p[y]]                    
           then left[p[y]] ← x                 // 若“y是它父节点的左孩子”，则设置“x” 为 “y的父节点的左孩子”
           else right[p[y]] ← x                // 若“y是它父节点的右孩子”，则设置“x” 为 “y的父节点的右孩子”
if y ≠ z                                    
   then key[z] ← key[y]                        // 若“y的值” 赋值给 “z”。注意：这里只拷贝z的值给y，而没有拷贝z的颜色！！！
        copy y's satellite data into z         
if color[y] = BLACK                            
   then RB-DELETE-FIXUP(T, x)                  // 若“y为黑节点”，即替换结点是黑色则调用删除修正算法
return y

删除修正算法：

删除修正算法：
RB-DELETE-FIXUP(T, x)
while x ≠ root[T] and color[x] = BLACK  
    do if x = left[p[x]]      
          then w ← right[p[x]]                                             // 若 “x”是“它父节点的左孩子”，则设置 “w”为“x的兄弟”(即x为它父节点的右孩子)                                          
               if color[w] = RED                                           // 情景2.1.1: x是“黑+黑”节点，x的兄弟节点是红色。(此时x的父节点和x的兄弟节点的子节点都是黑节点)。
                  then color[w] ← BLACK                                    //   (01) 将x的兄弟节点设为“黑色”。
                       color[p[x]] ← RED                                   //   (02) 将x的父节点设为“红色”。
                       LEFT-ROTATE(T, p[x])                                //   (03) 对x的父节点进行左旋。
                       w ← right[p[x]]                                     //   (04) 左旋后，重新设置x的兄弟节点。
               if color[left[w]] = BLACK and color[right[w]] = BLACK       // 情景2.1.2.3: x是“黑+黑”节点，x的兄弟节点是黑色，x的兄弟节点的两个孩子都是黑色。
                  then color[w] ← RED                                      //   (01) 将x的兄弟节点设为“红色”。
                       x ←  p[x]                                           //   (02) 设置“x的父节点”为“新的x节点”。
                  else if color[right[w]] = BLACK                          // 情景2.1.2.2: x是“黑+黑”节点，x的兄弟节点是黑色；x的兄弟节点的左孩子是红色，右孩子是黑色的。
                          then color[left[w]] ← BLACK                      //   (01) 将x兄弟节点的左孩子设为“黑色”。
                               color[w] ← RED                              //   (02) 将x兄弟节点设为“红色”。
                               RIGHT-ROTATE(T, w)                          //   (03) 对x的兄弟节点进行右旋。
                               w ← right[p[x]]                             //   (04) 右旋后，重新设置x的兄弟节点。
                        color[w] ← color[p[x]]                             // 情景2.1.2.1: x是“黑+黑”节点，x的兄弟节点是黑色；x的兄弟节点的右孩子是红色的。(01) 将x父节点颜色 赋值给 x的兄弟节点。
                        color[p[x]] ← BLACK                                //   (02) 将x父节点设为“黑色”。
                        color[right[w]] ← BLACK                            //   (03) 将x兄弟节点的右子节设为“黑色”。
                        LEFT-ROTATE(T, p[x])                               //   (04) 对x的父节点进行左旋。
                        x ← root[T]                                        //   (05) 设置“x”为“根节点”。
       else (same as then clause with "right" and "left" exchanged)        // 若 “x”是“它父节点的右孩子”，将上面的操作中“right”和“left”交换位置，然后依次执行。
color[x] ← BLACK

图14

图中字母并不代表结点Key的大小。R表示替代结点，P表示替代结点的父结点，S表示替代结点的兄弟结点，SL表示兄弟结点的左子结点，SR表示兄弟结点的右子结点。灰色结点表示它可以是红色也可以是黑色。
值得特别提醒的是，R是即将被替换到删除结点的位置的替代结点，在删除前，它还在原来所在位置参与树的子平衡，平衡后再替换到删除结点的位置，才算删除完成。

删除情况可以总结为下面这些：

情景1：
替换结点是红色结点
我们把替换结点换到了删除结点的位置时，由于替换结点是红色，删除也了不会影响红黑树的平衡，只要把替换结点的颜色设为删除的结点的颜色即可重新平衡。如图12。
处理：

颜色变为删除结点的颜色

情景2：
替换结点是黑结点
当替换结点是黑色时，我们就不得不进行自平衡处理了。我们必须还得考虑替换结点是其父结点的左子结点还是右子结点，来做不同的旋转操作，使树重新平衡。

情景2.1：
替换结点是其父结点的左子结点

情景2.1.1：
替换结点的兄弟结点是红结点
若兄弟结点是红结点，那么根据性质4，兄弟结点的父结点和子结点肯定为黑色，不会有其他子情景，我们按图15处理，得到情景2.1.2.3（后续讲解，这里先记住，此时R仍然是替代结点，它的新的兄弟结点SL和兄弟结点的子结点都是黑色）。
处理：

将S设为黑色
将P设为红色
对P进行左旋，得到情景2.1.2.3
进行情景2.1.2.3的处理

图15

情景2.1.2：
替换结点的兄弟结点是黑结点
当兄弟结点为黑时，其父结点和子结点的具体颜色也无法确定（如果也不考虑自底向上的情况，子结点非红即为叶子结点Nil，Nil结点为黑结点），此时又得考虑多种子情景。

情景2.1.2.1：
替换结点的兄弟结点的右子结点是红结点，左子结点任意颜色
即将删除的左子树的一个黑色结点，显然左子树的黑色结点少1了，然而右子树又有红色结点，那么我们直接向右子树“借”个红结点来补充黑结点就好啦，此时肯定需要用旋转处理了。如图16所示。
处理：

将S的颜色设为P的颜色
将P设为黑色
将SR设为黑色
对P进行左旋

图16

平衡后的图怎么不满足红黑树的性质？前文提醒过，R是即将替换的，它还参与树的自平衡，平衡后再替换到删除结点的位置，所以R最终可以看作是删除的。另外图15是考虑到第一次替换和自底向上处理的情况，如果只考虑第一次替换的情况，根据红黑树性质，SL肯定是红色或为Nil，所以最终结果树是平衡的。如果是自底向上处理的情况，同样，每棵子树都保持平衡状态，最终整棵树肯定是平衡的。后续的情景同理，不做过多说明了。

情景2.1.2.2：
替换结点的兄弟结点的右子结点为黑结点，左子结点为红结点
兄弟结点所在的子树有红结点，我们总是可以向兄弟子树借个红结点过来，显然该情景可以转换为情景2.1.2.1。如图17所示。
处理：

将S设为红色
将SL设为黑色
对S进行右旋，得到情景2.1.2.1
进行情景2.1.2.1的处理

图17

删除情景2.1.2.3：
替换结点的兄弟结点的子结点都为黑结点
好了，此次兄弟子树都没红结点“借”了，兄弟帮忙不了，找父母呗，这种情景我们把兄弟结点设为红色，再把父结点当作替代结点，自底向上处理，去找父结点的兄弟结点去“借”。但为什么需要把兄弟结点设为红色呢？显然是为了在P所在的子树中保证平衡（R即将删除，少了一个黑色结点，子树也需要少一个），后续的平衡工作交给父辈们考虑了，还是那句，当每棵子树都保持平衡时，最终整棵总是平衡的。
处理：