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不分了，反正也没做多少题

“寒假”作业

1.101221I,Sensor Network

https://codeforces.com/gym/101221
题意：给\(n<=100\)个网格点，距离小于\(d\)的点两两连边，求最大点集使得每个点两两连边
奇妙的转化思路
选定两个点\(i,j\)作为最远点，以\(dis(i,j)\)为半径，\(i,j\)为圆心作圆，可以发现圆交集里的点被线段\(ij\)分成了两部分，同部分的点两两距离都小于\(dis(i,j)\)，于是转化成了二分图求最大团
二分图求最大团可以用最小点覆盖做，即将连边条件改为距离大于d，删去最少点使二分图无边，而最小点覆盖等于最大匹配，求出最大匹配后可以暴力求出删去哪些点

2.101239E,Evolution in Parallel

https://codeforces.com/gym/101239
题意：给\(n+1(n\le4000)\)个字符串，求将\(2-n+1\)个字符串分成两部分，两个序列\(p,q\)满足\(S_{p_{i+1}}\subseteqq S_{p_i},S_{q_{i+1}}\subseteqq S_{q_i}\)
求序列，若无这样的序列或第一个字符串不包含其他所有字符串则输出无解
按长度从大到小做，1.放p里,2.放q里,3把p退到能放i,再把退出来的字符串放到2里，若3无法实现，则无解
可以这样理解，往q放的都是p放不了的，若p,q都放不了，存在一种合法情况便是存在\(p_j\)可以接受\(i\)，且\(p_j\)后面的串都可以放到\(q\)，
否则便是\(p_j\)下面的串没地方放，不合法

4.100269C,Correcting Curiosity

https://codeforces.com/gym/100269
给出两个字符串\(A\)与\(B\)，长度小于2000，通过一步操作将A换成B
操作为:a串，b串，即先找出A中所有a(不重叠)，将其转换为b，如：abababa, aba ab，则改为abbab
让a+b(长度)最小

5.101190C,Cactus Construction

https://codeforces.com/gym/101190
给一棵有标号(1~n)仙人掌，现在有n个点，每个点为一个集合
操作1：x所在集合中颜色为a的染为b，操作2：x所在集合与y所在j集合合并，操作3：x所在集合颜色i与颜色j的点连边
给出方案，步数小于1000000，不得用大于4种颜色
从下往上做，先假设是一棵树，设子树i的集合中颜色1为孙，2为儿子，3为根
在回溯到一个点时，将它儿子集合与它合并，23连边，离开一个点时，把2(儿子)改为1,3(根)改为2
这样分层做可以保证根只会与儿子连边
然后是仙人掌，情况类似，只要扫到环的底部将环的底部\(buttom\)和顶部\(top\)先合并连边，再保证这个操作不会对\(top\)的其他“子树”产生影响，剩下的就跟树的情况一样了，需要使用颜色4
1为废点，2为儿子，3为自己，4为返祖，保证同一集合内有且仅有一个点为3或4
首先每个点都是1，从根往下搜，
到\(i\)时，先做完每个儿子，然后把当前点定为3，一个一个儿子合并，\((3,2)\)连边，然后将2改为1，3改为2，处理返祖，此时只有一个2
祖先设为4，\((4,2)\)连边，一个点至多一条返祖
本来这道题题解到这里该打完了，然而我check时被提示了一个我码之前想到的，却在问别人时忘掉了的问题，一个点同时为两个环的顶部时，两个环会提前并在一起，导致后处理的环在回溯连边时把前者环的2也连了
所以得改，其他不变，儿子分为三类，有返祖且边不连向自己的，子孙有返祖边且不连自己的，其他
先把第三类点集与自己合并，4改2，再合并第一类点集合，\((3,4)\)连边，再合并第二类，\((3,2)\)连边，2改1
最后处理自己颜色，如果自己有返祖边就把当前点改为4，然后打上标记并上传，否则改2

12.100851D,Distance on Triangulation

给定一个正\(n\)边形及其三角剖分, 共\(2n-3\)条边 (\(n\)条多边形的边和\(n-3\)条对角线), 每条边的长度为1。
共\(q\)次询问, 每次询问给定两个点, 求它们的最短距离。
考虑到边不会交叉，对于一个正\(n\)边形与其中一条边\((i,j)\)，这条边左边的点到右边必然要经过\(i/j\)，右边的点到左边同理，如果询问中两个点被分到了两边，我们可以用他们到\(i/j\)的最短距离，四种情况组合一下取最小
接下来做法就比较明显了，对当前图形选择一条能把图分成尽量均匀的两部分的边\((i,j)\)，处理左边右边的点到\(i/j\)的最短距离，然后处理跨过中间的询问，将图与剩余询问分成两部分，接着分治，时间复杂度大概是\(O(nlogn)\)的
存当前图的点可以用\(vector\)，或者用一个类似栈的东西暴力存点和边，用完弹出，找边时暴力枚举存下的边判断均匀
一开始T飞了，后来打了个剪枝，没有询问就退出跑的飞快

3.28

T1 制作美食

满足\(y\le a_x 且 x\le b_y\)，可以看成线段\((x,0)-(x,a_x)\)与线段\((0,y)-(b_y,y)\)有交
简单画一下图可以发现，按\(b_y\)与\(x\)从大到小做，就满足了\(x\le b_y\)
将\(y\)塞到线段树里，如果一条\(a\)线段与多个\(b\)线段有交，只有\(y\)最小那个有用，其他都可以删掉
于是每次找到\(a\)第一个与\(b\)线段的交点，然后在线段树上查询、删除后继
最后的联通块个数就是没有被删掉的\(b\)线段与找不到交点的\(a\)线段个数
\(O(nlogn)\)T成60

atcoder C

可以发现乘上的数大于1的至多只有20个，其他都是没用的
设\(f_{i,j}\)表示乘了\(i\)个大于1的数，末尾大小为\(j\)，暴力转移即可，复杂度调和级数乘20
比赛时以为转移会T打了整除分块还没调出来

3.29

T1 6085. 【GDOI2019模拟2019.3.26】要换换名字

首先答案满足二分性
暴力枚举ans，每次将\(i\)可以变的等于ans的长度的名字搜出来，连边，跑二分图最大匹配
可以发现\(i\)连的边等于\(n\)时必有名字可以分配，因此最多\(n^2\)个点，建图时优化一下即可通过

T2 6086. 【GDOI2019模拟2019.3.26】动态半平面交

题意与名字无关
考虑离线，设询问深度为\(t_i=deep_{u_i}+d_i\)，按深度从小到大插入点和处理询问
插入查询都在线段树上按\(dfn\)处理，插入直接乘上\(a_i\)，查询直接查整棵子树，考虑对重复质数去重
对于每个质数的前二十五次幂建\(set\)，假如\(a_i\)为\(2^3\)则将\(dfn_i\)扔进2的前三个\(set\)中，每次查前驱后继，在与前驱，与后继的\(lca\)处分别乘\(\cfrac{1}{2}\)，由于前驱与后继的\(lca\)之前去重过了，因此在前驱与后继的\(lca\)处乘2，可以发现不会重复
时间是\(25nlogn\)的
在线把线段树改成主席树即可
然而此题还没调出来

T3 6087. 【GDOI2019模拟2019.3.26】获取名额

泰勒展开，不会

3.30

T1 7035. 2021.03.30【2021省赛模拟】神奇纸牌(uno)

考场这题打了两个多钟暴力，然后发现是道DP水题，没调出来，考完两分钟发现可以快速幂
可以发现可以将四种颜色变为四个联通块，如果有相同数字就合并联通块
设\(f_{i,s}\)为选了前\(i\)个数后联通块状态为\(s\)的方案数，\(s\)以并查集的形式压缩，联通块\(i\)的父亲编号小于等于\(i\)，为\(0\)则代表此颜色未出现过，则有\(2*3*4*5=120\)种状态，暴搜一下即可，其实去掉不合法的只剩不到三十种状态
状压DP的转移是固定的，矩乘快速幂，最后枚举一下合法状态即可

T2 7036. 2021.03.30【2021省赛模拟】凌乱平衡树 (treap)

暴力模拟可以拿到\(95\)分的好成绩
首先原树的答案很好算，\(rotate\)也只是某些\(sz\)加加减减修改答案
考虑合并，由于只有\(a\)树的右链与\(b\)树的左链有关，我们把它们提出来，其一定是从大到小排列的
把他们归并排序后观察对答案的影响，形如\(a_i,a_{i+1},a_{i+2},b_i,b_{i+1}····\)会对答案产生\(3*sz_{b_{i}}\)的贡献，因为\(b_i\)的子树全体深度加了一
那么修改也比较好处理了，我们将\(a,b\)存到两棵权值线段树上，\(rotate\)时插入删除一下，插入时找一下\(a、b\)的前驱后继，看是放在了一堆\(a\)开头、中间还是\(b\)中间，分类讨论修改下贡献就好，删除类似
由于是双关键字排序，我们插入时将\(a_i\)乘二加一，将\(b_i\)乘二，就不用讨论是\(a\)是\(b\)了
犯了形如忘记插入，打错分号，情况讨论错了之类的错误，爷调了六个小时

T3 7037. 2021.03.30【2021省赛模拟】打扫笛卡尔

\(deep\)和转化为\(sz\)和行云流水
设\(f_n,g_n\)分别为\(n\)个点时的答案与扫到的点\(deep\)和的期望

\[f_n=g_n+\sum \cfrac{1}{2}\binom{n}{i} (f_i(n-i-1)!+f_{n-i-1}i!)\\ =g_n+\sum\binom{n}{i} fi(n-i-1)!\\ =g_n+\sum \cfrac{n!}{i!(n-i-1)!}f_i(n-i-1)!\\ =g_n+\sum \cfrac{n!}{i!}f_i\\ g_n=n!+\sum \cfrac{1}{2}(g_i(n-i-1)!+g_{n-i-1}i!)\\ =n!+\sum \cfrac{n!}{i!}g_i \]

\(f\)与\(g\)右边的求和每次只会多乘一个\(n\)，加一个\(f_n\)或\(g_n\)，可以边处理边更新，\(O(n)\)

4.1

T1 7038. 2021.04.01【2021省赛模拟】异或 （inception）

去年十月做过的原题，当然我啥都不记得了
考虑到一个集合内异或起来最小的一定是一对大小相邻的数，因此保证大小相邻的数异或起来大于限制即可
在\(trie\)上模拟DP，在\(trie\)上跑时记录一下\(y\)表示二进制下，\(a_i\)的前\(j\)位与\(y\)代表的前\(j\)位异或起来与限制前\(j\)位相同，分类讨论一下转移即可

4.2

T1 6149. 【GDOI2019Day1模拟2019.4.28】盗梦空间

对每组询问建虚树，分类讨论下在空子树内，虚树边和虚树点上的情况即可
码量惊人，也懒得想

T2 6150. 【GDOI2019Day1模拟2019.4.28】爱乐之城

大缝合题
求

\[g(n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ij[i⊥j]\\ f(n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}μ(ij)\\ F(S)=\sum_{T\in S}f(gcd(a\in T))\prod_{a\in T} g(a) \]

考虑预处理\(g(n),f(n),n\in[1,maxn]\)

\[g(n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}jk[j⊥k]=\sum_{i=1}^ni\sum_{j=1}^nj[gcd(i,j)=1]\\ =2\sum_{i=1}^ni(\cfrac {φ(i)}{2}i)=\sum i^2φ(i)\\ f(n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}μ(ij)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}μ(i)μ(j)[gcd(i,j)=1]\\ =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}μ(i)μ(j)\sum_{d|gcd(i,j)}μ(d)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}μ(i)μ(j)\sum_{d|i,d|j}μ(d)\\ =\sum_{d=1}^{n}μ(d)(\sum_{d|i}^n μ(i))^2 \]

\(g(n)\)显然可以线性处理，\(f(n)\)可以枚举\(d\)的倍数，增量处理，前缀和求，\(O(nlogn)\)
我比较蠢，\(φ(i)\)用的是\(φ(n)=n\prod(\cfrac{1}{p}(p-1))\)，线筛求后面那个系数再乘\(n\)求的，但好像可以直接筛
至于\(F(S)\)，构造\(h(n)\)使得\(f(n)=\sum_{d|n}h(d)\)，则

\[F(S)=\sum_{T\in S}f(gcd(a\in T))\prod_{a\in T} g(a)=\sum_{T\in S}(\sum_{d|gcd(T)}h(d))\prod_{a\in T}g(a) \]

将后面的\(\prod g(a)\)看成\(h(d)\)的系数的一部分，枚举\(d\)，则

\[F(S)=\sum_{T\in S}(\sum_{d|gcd(T)}h(d))\prod_{a\in T}g(a)=\sum_{d}^{n}h(d)\prod_{d|a_i}(g(a_i)+1) \]

后面的\(\prod_{d|a_i}(g(a_i)+1)\)即系数，容易发现每加入一个\(a_i\)只会对约数个\(d\)产生影响
由于题目保证每个\(a_i\)各不相同，加入\(a_i\)找约数\(d\)复杂度最劣相当于枚举\(d\)的倍数，即调和级数，质因数分解后直接找约数修改系数更新即可
是为数不多我完全理解了的纯数论题，对个人于数论几个小知识点的学习都有所帮助

4.3

T1 7041. 2021.04.03【2021省赛模拟】Alice 和 Bob 双在玩游戏（gametwice）

简单博弈，但我没做
设DP\(f_i\)表示在\(i\)有颗石子，通过移动这颗石子，\(i\)的主人最多能比对方多走\(f_i\)步
转移为\(f_i=max(0,1+f_u(c_u=c_v),1-f_v(c_u\ne c_v))\)，最后做个背包统计一下方案数，只要存在石子的点中，Alice的\(f\)和大于Bob的，便是\(Alice\)胜利

T2 7042. 2021.04.03【2021省赛模拟】时代的眼泪·SP（tearssp）

考试时读错题爆零了，现在也还没改
分块处理，对于整块散块都是暴力一个一个跳
考虑到整块中如果存在一个点\(x\)，往上跳后发现\(fa_x\)已经被\(y\ne x\)到达过了，那就可以把\(x\)删掉了，因为接下来不管怎么跳，\(y\)都会在\(x\)的正上方，\(dep\)自然更小
这样每个块至多遍历整棵树一次，也就是\(n\sqrt{n}\)的
对于散块，我们记录一下\(i\)所在块跳了多少次，\(i\)自己跳了多少次，补齐差的次数，如果被删掉过看一下现在的新位置能不能放回块中
由于不能带\(log\)，因此要\(nlogn\)长链剖分预处理，来达到\(O(1)\)求\(i\)的\(k\)级祖先

4.5

T1 7044. 2021.04.05【2021省赛模拟】悄悄话(word)

最近比赛时傻傻的总差一步想到正解（不过题面好有意思）
建\(AC\)自动机，考虑到一个字符串所包含的所有子串，一定能通过跑\(fail\)链到达此字符串某个前缀的尾结点上
设\(f_i\)为以节点\(i\)代表的字符串或其后缀为结尾的最大答案
我们建个\(fail\)树，每次查询时，在\(trie\)上经过每个节点\(i\)时都查询一下其在\(fail\)树上的对应答案\(f_i\)用来更新答案，跑到尾结点时用取\(max\)的方式更新尾结点在\(fail\)树上子树的\(f\)，复杂度\(O((\sum len_i)log\sum len_i)\)

T2 7045. 2021.04.05【2021省赛模拟】数学考试(sleep)

比较经典的网络流题，但我没想到，考场打的几档分挂光了
考虑用网络流，对于每个\(x\)建一条长链从\(S\)到\(T\)，每条边为权值
对于每个限制\(x_u\le x_v+D\)，转化为\(x_u-D\le x_v\)，对于\(x_u\)链上每个点，对\(x_v\)链上对应\(x_u-D\)的点都连一条权值为\(inf\)的边，对于任意\(x_u=i\)的点，要么是选了\(x_u=j(j\le i)\)，要么选了\(x_v=k(k\ge i-D)\)，这样就一定满足了限制

4.7

T1 7047. 2021.04.07【2021省赛模拟】染色(coloring)

今天比较摸
考虑到每个斜线被替代当且仅当其所有行被染色
问题转化为有\(n+m-1\)个区间，可以选择一些区间，然后在这些区间的并里选一些元素，但不能有所选区间的元素被全部选择，问方案数。
可设\(f_{i,j}\)表示第\(i\)个斜线不染色且其区间倒数\(j\)个元素染色，方案数是多少，\(g_i=\sum f_{i,j}\)，\(g_0=1\)
因为从左到右的斜线，其所在行的区间左右端点单调不下降，因此设倒数\(j\)个元素
三种转移，分别是两个区间不相交，相交且\(i\)后面的连续选的元素与\(j(j<i)\)不相交，两个区间相交且\(i\)后面的连续选的元素与\(j(j<i)\)相交
对于第一种，\(lim[i][0]\)到\(lim[i][1]-k-1\)与与前一个斜线都可以随便选，\(f_{i,k}+=g_j*2^{lim[i][1]-k-lim[i][0]}\)，中间的行因为被选了的斜线完全覆盖了，所以全是被染了色的，方案唯一
对于第二种，从\(lim[j][1]+1\)到\(lim[i][1]-k-1\)可以随便选，斜线\(j\)的方案也是随便选，\(f_{i,k}+=g_j*2^{lim[i][1]-lim[j][1]-k-1}\)
对于第三种，方案数已经被前面的选择固定了，\(f_{i,k}+=f_{j,lim[j][1]-(lim[i][1]-k)}\)
最后把所有方案数加起来即可，包括\(g_0\)