2021.03.13省选模拟 抽卡（card）

本命题啊，竟然没有做出来
可以发现，每次触发保底后，抽卡次数都会重新计算，也就是说每个五星之间的抽卡独立，则可以先求出抽出一个五星的概率\(E\)，再求已有i个不重复五星， 抽出第i+1个的期望次数\(Di\)
则\(ans=\sum{Di}\)，由简单的概率知识可得，\(Di=\frac{n-i}{n}Di+\frac{i}{n}(E+D_i)\)，解得\(Di=\frac{n}{n-i}E\)，比赛时没想到列方程，自己列的解不出来，这个系数还是打表找的规律····
至于\(E\)，是个差比数列，解法与一般等比数列类似

\[E=\sum_1^{mac-1}i(1-p)^{i-1}p+mac(1-p)^{mac}\\ =\sum_1^{mac-2}(1-p)^{i-1}-(mac-1)(1-p)^{mac-1}+mac(1-p)^{mac-1}\\ =\sum_1^{mac-1}(1-p)^{i-1}=\frac{1-(1-p)^{mac}}{p} \]

\(ans=\sum_0^{n-1}{\frac{n}{n-i}E}=nE\sum_1^{n}{\frac{1}{i}}\)
\(E\)可以\(O(1)\)求，\(\sum_1^{n}\frac{1}{i}\)可以分段打表，多出来的一部分暴力求
比赛时以为解等比数列很难，\(E\)是暴力求的，能拿70，结果因为求\(F_i\)那部分有个地方没取模，给答案加了负数，然后怎么调都调不出来，暴力和70分解法又是一个打的小数一个打的分数，分数输入难以转化为小数，小数答案难以转化为分数，调的心态很崩，一直以为自己暴力都不会
对了，不造谣不信谣不传谣，FGO没有五星保底，3年玩家保证