题解 P5566 【[SDOI2008]红黑树】
最近在刷平衡树，看到标题就进来了，没想到是个dp？？？看了看，发现可以贪心，于是就有了这篇题解。
分析：
因为红黑树本身的性质，所以我们可以通过画图来枚举所有情况：
先把每一个节点看成黑色的，通过红黑树性质来把一些结点变成红色的。
- \(case1:\)
如图：
最亏的一种情况，两个黑色节点没变出来一个红色节点。
- \(case2:\)
如图：
三个黑色节点变成一个红色节点，有点浪费。
- \(case3:\)
如图：
此时四个黑色节点变成两个红色节点，黑色节点的利用率最大。
所以，贪心就很明确了。
\(\text{code:}\)
#include "cstdio"
int n, ans, k;
int main()
{
scanf("%d", &n);
k = n + 1;
while (k > 1)
{
ans += k & 1;
k >>= 1;
}
printf("%d\n", ans);
k = n + 1;
ans = 0;
while (k > 1)
{
if (k == 2)
ans++, k--;
else if ((k & 3) == 1)
ans += ((k >> 2) << 1) - 1, k >>= 2, k++;
else if ((k & 3) == 2)
ans += ((k >> 2) << 1), k >>= 2, k++;
else if ((k & 3) == 3)
ans += ((k >> 2) << 1) + 1, k >>= 2, k++;
else
ans += (k >> 1), k >>= 2;
}
printf("%d", ans);
return 0;
}
关于DP
自己想了一种方法，不过好像有亿点点慢。
以最小值为例：
用 \(R_{(i,j)}\) 表示 \(i\) 个结点，黑高度为 \(j\) 的红根树中红色结点最小值；
\(B_{(i,j)}\) 表示 \(i\) 个结点，黑高度为 \(j\) 的黑根树中红色结点最小值。
\(\therefore R_{(i,j)}=\min\left({R_{(i,j)},B_{(k,j-1)}+B_{(i-k-1,j-1)}+1}\right)\quad(i\leq k\leq i-2)\)；
\(\therefore B_{(i,j)}=\min\left({B_{(k,j-1)},B_{(i-k-1,j-1)},R_{(k,j)}+R_{(i-k-1,j)},R_{(k,j)}+B_{(i-k-1,j-1)}}\right)\quad(i\leq k\leq i-2)\)；
