题目
  有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c,价值是w。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。
  基本思路
  这是最基础的背包问题,特点是:每种物品仅有一件,可以选择放或不放。
  用子问题定义状态:即f[v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是:f[v]=max{f[v],f[v-c]+w}。

这个方程非常重要,基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细 解释一下:“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题,若只考虑第i件物品的策略(放或不放),那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。 如果不放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”;如果放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为 v-c的背包中”,此时能获得的最大价值就是f [v-c]再加上通过放入第i件物品获得的价值w。
  注意f[v]有意义当且仅当存在一个前i件物品的子集,其费用总和为v。所以按照这个方程递推 完毕后,最终的答案并不一定是f[N] [V],而是f[N][0..V]的最大值。如果将状态的定义中的“恰”字去掉,在转移方程中就要再加入一项f[v-1],这样就可以保证f[N] [V]就是最后的答案。至于为什么这样就可以,由你自己来体会了。
  优化空间复杂度
  以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V),其中时间复杂度基本已经不能再优化了,但空间复杂度却可以优化到O(V)。
  先考虑上面讲的基本思路如何实现,肯定是有一个主循环i=1..N,每次算出来二维数组 f[0..V]的所有值。那么,如果只用一个数组f [0..V],能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[v]呢?f[v]是由f[v]和f [v-c]两个子问题递推而来,能否保证在推f[v]时(也即在第i次主循环中推f[v]时)能够得到f[v]和f[v -c]的值呢?事实上,这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v],这样才能保证推f[v]时f[v-c]保存的是状态f[v-c]的值。 伪代码如下:
for i=1..N
for v=V..0
f[v]=max{f[v],f[v-c]+w};
  其中的f[v]=max{f[v],f[v-c]}一句恰就相当于我们的转移方程 f[v]=max{f[v],f[v-c]},因为现在的f[v-c]就相当于原来的f[v-c]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话,那么则 成了f[v]由f[v-c]推知,与本题意不符,但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案,故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。
  总结
01背包问题是最基本的背包问题,它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想,另外,别的类型的背包问题往往也可以转换成01背包问题求解。故一定要仔细体会上面基本思路的得出方法,状态转移方程的意义,以及最后怎样优化的空间复杂度。