RSA中用到的推导，笔记持续更新

1.同余式组求p和q

已知条件：

 

 推导过程：

根据上述已知条件，以及同余式性质，我们可以得到如下：

c1^e2 = (2p + 3q)^e1*e2 mod N

c2^e1 = (5p + 7q)^e1*e2 mod N

从而得到：

5^{e1 * e2}  * c1^e2 = (10p + 15q)^e1*e2 mod N

^{2e1 * e2  * c2e1 = (10p + 14q)e1*e2 mod N}

令 a = 5^{e1 * e2}  * c1^e2 ,  b = 2^{e1 * e2}  * c2^e1 

a = (10p + 15q)^e1*e2 mod N

b = (10p + 14q)^e1*e2 mod N

由如下同余性质：

 

 可以得到：

a = (10p + 15q)^e1*e2 mod q

b = (10p + 14q)^e1*e2 mod q

易知：a mod q = b mod q

则可以得到：（a - b) mod q = 0

到此我们就可以知道 q 是 a - b 的一个因子，知道 a - b 就可以算出 q ，从而算出 p

题目及解题脚本：

from fractions import gcd
N = 14905562257842714057932724129575002825405393502650869767115942606408600343380327866258982402447992564988466588305174271674657844352454543958847568190372446723549627752274442789184236490768272313187410077124234699854724907039770193680822495470532218905083459730998003622926152590597710213127952141056029516116785229504645179830037937222022291571738973603920664929150436463632305664687903244972880062028301085749434688159905768052041207513149370212313943117665914802379158613359049957688563885391972151218676545972118494969247440489763431359679770422939441710783575668679693678435669541781490217731619224470152467768073
e1 = 12886657667389660800780796462970504910193928992888518978200029826975978624718627799215564700096007849924866627154987365059524315097631111242449314835868137
e2 = 12110586673991788415780355139635579057920926864887110308343229256046868242179445444897790171351302575188607117081580121488253540215781625598048021161675697
c1 = 14010729418703228234352465883041270611113735889838753433295478495763409056136734155612156934673988344882629541204985909650433819205298939877837314145082403528055884752079219150739849992921393509593620449489882380176216648401057401569934043087087362272303101549800941212057354903559653373299153430753882035233354304783275982332995766778499425529570008008029401325668301144188970480975565215953953985078281395545902102245755862663621187438677596628109967066418993851632543137353041712721919291521767262678140115188735994447949166616101182806820741928292882642234238450207472914232596747755261325098225968268926580993051
c2 = 14386997138637978860748278986945098648507142864584111124202580365103793165811666987664851210230009375267398957979494066880296418013345006977654742303441030008490816239306394492168516278328851513359596253775965916326353050138738183351643338294802012193721879700283088378587949921991198231956871429805847767716137817313612304833733918657887480468724409753522369325138502059408241232155633806496752350562284794715321835226991147547651155287812485862794935695241612676255374480132722940682140395725089329445356434489384831036205387293760789976615210310436732813848937666608611803196199865435145094486231635966885932646519

f1 = pow(5, e1*e2, N) * pow(c1, e2, N)
f2 = pow(2, e1*e2, N) * pow(c2, e1, N)
q = abs(gcd(N, f1-f2))
p = N//q
print(N, p, q, N-p*q, sep='\n'）