树链剖分

树链剖分

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该文章难度较浅，一些巨佬们可自行忽视

引入

树链剖分就是把一棵树切成很多根链，那怎么去剖呢？这是有讲究的。

明确一些定义

重儿子：一个根节点下子树最大的那个儿子。

轻儿子：除了重儿子的所有儿子。

重边：与重儿子相连的边。

轻边：与轻儿子相连的边

重链：全部由重边组成的链

几条结论

内容

这是最关键的：任一节点到根节点到经过的轻边不超过logN

还有几条比较水的：

1.每一个节点最多属于一条重链

2.重链不相交

证明：

只证第一条：

从任一节点经过轻边到达上一层，经过一次轻边子树的个数会翻上1倍，所以容易得知一定少于logN。
其余的感性认识。

核心

数链剖分的本质就是讲一颗树分成若干个链的组合，从而做到将树状结构的问题转化到了线性结构。

预处理

首先呢，我们需要维护出每个节点的深度和他属于那个重链。

显而易见，为了维护重链，我们还需要知道每个节点对应的子树的大小。

当然，要想把树转换成线性结构，一个dfs序是很重要的，而且还要保证每一条重链上的dfs序是连续的。

所以我们肯定不能在一次dfs中完成以上的所有事情，所以两遍dfs是很重要。

关于，如何维护，每个人都有自己的做法。我提供我的伪代码。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Node
{
    int fa;// 父亲是谁？ 
    int dep;//我的传承有多长？ 
    int pos;//我的重边走向何方？ 
    int heavy;//我的重链家在何处？ 
    int size;// 我子子孙孙有多少？ 
    int ds;//dfs序 
}tr[MAXN];
vector<int>vec[MAXN];
void dfs1(int now,int fa)// 我想知道我爹和我失散多年的重儿子 
{
    tr[now].size = 1;
    tr[now].dep = tr[fa].dep+1;
    int mx = 0 ;
    for(int i = 0;i < vec[now].size();i++)
    {
        if(vec[now][i] != fa)
        {
            dfs1(vec[now][i],now);    
            tr[now].size += tr[vec[now][i]].size;
            if(tr[vec[now][i]].size > mx)
            {
                mx = tr[vec[now][i]].size;
                tr[now].pos = vec[now][i];
            }
        }    
    } 
}
int tot = 0;
void dfs2(int now,int fa)
{
    tr[now].ds = ++ tot;
    if(tr[fa].pos == now) 
    {
        tr[now].heavy = tr[fa].heavy;
    }
    dfs2(tr[now].pos,now);
    for(int i = 0;i < vec[now].size();i++)
    { 
        if(vec[now][i] != fa && vec[now][i] != tr[now].pos)
        {
            dfs2(vec[now][i],now);
        }
    }
} 

到这里，其实树链剖分的核心已经完成了。

线性处理

一般来说，传统意义上的树链剖分是会套上线段树，如果套上了splay的话，那么就会被称为LCT。

而线段树处理是，对于轻边链接的点我们使用单点修改，而重链则是直接跳到重链的顶端，重链位于一段连续的区间，所以，可以用区间维护。

这样的话因为我们的前置定理，所以树剖部分的复杂度最多为logN。

 

关于

其实树剖本身并不是一个完整的算法，其本质是用一些可以用在线性结构上的结构可以在多花费logN的前提下，去做树状结构的题