浅谈——LCA

图论基础知识

LCA是啥？

在一棵没有环的树上，每个节点肯定有其父亲节点和祖先节点，而最近公共祖先，就是两个节点在这棵树上深度最大的公共的祖先节点。

换句话说，就是两个点在这棵树上距离最近的公共祖先节点。

------>例如，对于下面的树，结点4和结点6的最近公共祖先LCA(T,4,6)为结点2。

有什么方法？

暴力

tarjan

倍增

LCA转RMQ

树链剖分

欧拉序+RMQ

……（等等奇怪算法）

1.暴力

• 首先计算出结点u和v的深度d1和d2。如果d1>d2，将u结点向上移动d1-d2步，如果d1<d2，将v结点向上移动d2-d1步，现在u结点和v结点在同一个深度了。下面只需要同时将u，v结点向上移动，直到它们相遇（到达同一个结点）为止，相遇的结点即为u，v结点的最小公共祖先。
• 该算法时间复杂度为O(h)，对于多次询问的题目不能解决（这种方法一般20分）

2.倍增

• 倍增法其实是在暴力搜索的基础上进行了优化，我们希望向上查找更快，可以事先预处理出p[i,j]，表示i往上移动2^j步到达的结点，这样在查找时将大大节约时间。
• 由定义有  

      简单解释一下，p[i][j]是从i移动2^j步，相当于移动两次2^j步，第一次 p[ i ][ j-1 ] ,第二次 p[ p[i][j-1] ][ j-1 ] 

• 利用P数组可以快速的将结点i向上移动n步，方法是将n表示为2进制数。比如n=6，二进制为110，那么利用P数组先向上移动4步(2^2)，然后再继续移动2步(2^1)，即P[ P[i][2] ][1]。

首先预处理出所有的p[i][j],并计算每个点的深度d[i]:
void dfs(int u,int fa)//从根结点u开始dfs，u的父亲是fa
{ 
    d[u]=d[fa]+1; //u的深度为它父亲的深度+1
    p[u][0]=fa; //u向上走2^0步到达的结点是其父亲
    for(int i=1;(1<<i)<=d[u];i++) p[u][i]=p[p[u][i-1]][i-1];//预处理p时，保证能从u走到p[u][i]
    for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next)//对于u的每个儿子
    { 
        int v=e[i].v; 
        if(v!=fa)dfs(v,u); //递归处理以v为根结点的子树
    } 
} 
在主函数中调用dfs(1,0)即可

接下来是查询结点a,b的LCA

int lca(int a,int b)
{
    if(d[a] > d[b]) swap(a , b) ; //保证a点在b点上面，d[a]<d[b] 
    for(int j = 20 ; j >= 0 ; j--) //将b点向上移动到和a的同一深度
    if(d[a] <= d[b] - (1<<j)) 
    b = p[b][j] ;
    if(a == b) return a ;//如果a和b相遇
    for(int j = 20 ; j >= 0 ; j--)//a,b同时向上移动
     {
           if(p[a][j] == p[b][j]) continue ;//如果a,b的2^j祖先相同，则不移动
           a = p[a][j] , b = p[b][j] ;//否则同时移动到2^j处
     }
     return p[a][0] ;//返回最后a的父亲结点，为什么返回父亲节点呢？因为啊a,b同时向上移动时不会移动到祖先相同的节点，到最后就停留在我们要找的节点的儿子上。
}

例题P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

 

#include<cstdio> 
#include<string>
#include<iostream>
using namespace std;

const int maxn=500005;
int n,m,s;
struct edge{
    int v,next;
}e[maxn*2];
int head[maxn],cnt;
int dep[maxn],f[maxn][21];

int read()//快读
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}

void add(int u,int v) //前向星建树 不会的https://www.cnblogs.com/mzyczly/p/11024914.html
{
    e[++cnt].v=v;
    e[cnt].next=head[u];
    head[u]=cnt;
}

void readdata()
{
    n=read(),m=read(),s=read();
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
    {
        int a,b;
        a=read(),b=read();
        add(a,b);
        add(b,a);
    }
}

void dfs(int u,int fa) //预处理
{
    dep[u]=dep[fa]+1;    
    f[u][0]=fa;
    for(int i=1;(1<<i)<=dep[u];i++)
    f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
    for(int i=head[u];i;i=e[i].next)
    {
        if(e[i].v!=fa)
        dfs(e[i].v,u);
    }
}

int lca(int a,int b) //查询LCA
{
    if(dep[a]>dep[b]) swap(a,b);
    for(int i=20;i>=0;i--)
    {
        if(dep[a]<=dep[b]-(1<<i)) b=f[b][i];
    }
    if(a==b) return a;
    for(int i=20;i>=0;i--)
    {
        if(f[a][i]==f[b][i]) continue;
        a=f[a][i],b=f[b][i];
    }
    return f[a][0];
}

void work()
{
    dfs(s,0);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b;
        a=read(),b=read();
        printf("%d\n",lca(a,b));
    }
}

int main()
{
    readdata();
    work();
    return 0;
}

 

时间复杂度分析

预处理：对每一个结点找到它向上走2^logN步到达的点，所以时间是NlogN

一组询问复杂度：O(logn)。

所以总复杂度为 O(NlogN+QlogN)（Q是询问次数）

空间复杂度：O(nlogn)。

3.LCA→RMQ的转化

RMQ是啥，看这。