数学基础——同余
线性同余方程
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给定\(a,b,c\),求一个整数\(x\)满足\(ax\equiv c(mod\;b)\), 或给出无解
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因为有\(b|ax-c\),设\(ax-c = -y*b\),则方程改写为\(ax+by = c\),就可以用\(exgcd\)求解
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注意,根据裴蜀定理,\(ax+by = c\)有解当且仅当
\((a,b)|c\),(即\(c\%(a,b) == 0\))
代码如下
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) {
if(b == 0) {
x = 1; y = 0; return a;
}
ll d = exgcd(b,a%b,x,y);//引用是相当于返回了(b,a%b)的一组解x0,y0
ll t = x; x = y; y = t-(a/b)*y;//通过变换x0,y0可得(a,b)的一组解x,y
return d;
}
int main() {
ll a,b,c = 1,x,y;
cin >> a >> b;
ll g_ab = exgcd(a,b,x,y);
if(c%g_ab) {
cout << -1; return 0;
//如果无解
//此题保证有解,即保证 gcd(a,b)|c 即保证gcd(a,b) = 1
}
x = x/g_ab*c;
cout << (x%b+b)%b;//将求得的x调整到范围内
return 0;
}
乘法逆元
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作用
将模意义下的除法转化为乘法
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求法
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求\(a\)关于\(mod\;p\)的逆元
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\(a,p\)互质,\(p\)为质数
\(a^{p-1} \equiv 1(mod\;p)\)(费马小定理)
所以有\(a*a^{p-2} \equiv 1 (mod\;p)\),即\(a^{p-2}\)为\(a\)在\(mod\;p\)意义下的逆元
利用快速幂即可求解,时间复杂度\(O(log(p))\)
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只满足\(a,p\)互质
求解线性同余方程\(a*x \equiv 1 (mod\;p)\)
利用\(exgcd\)即可求解,时间复杂度\(O(log(p))\)(近似)
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线性递推求逆元
求\([1,n]\)关于\(mod\;M\)的逆元
有递推式
\[inv[i] = (M-\left \lfloor M/i \right \rfloor)*inv[M\%i]\%M \]推导如下
\(M = t*i+r,t = \left \lfloor M/i \right \rfloor,r = M\%i\)
有\(t*i+r \equiv 0 (mod\;M)\),即\(r \equiv -t*i(mod\;M)\)
两边同除\(i*r\)(即同乘\(inv[i]*inv[r]\))
得\(inv[i] \equiv -t*inv[r](mod\;M)\)
代换\(t,r\)得\(inv[i] \equiv -\left \lfloor M/i \right \rfloor*inv[M\%i](mod\;M)\)
则\(inv[i]\)的通解为\(inv[i] = -\left \lfloor M/i \right \rfloor*inv[M\%i] + k*M\)
为了方便,写成上述的递推式
\[inv[i] = (M-\left \lfloor M/i \right \rfloor)*inv[M\%i]\%M \]时间复杂度\(O(n)\)
inv[1] = 1; for(int i = 2;i < M; ++i) {//if n < M ,i <= n即可 inv[i] = (M-M/i)*inv[M%i]%M; } -
\(O(n)\)求阶乘逆元(多用于配合求组合数)
可以用上面的递推先求出\([1,n]\)的逆元,然后求出阶乘逆元
但我们有更为优秀的做法,直接求阶乘逆元
令\(inv[i]\)表示\(i!\)关于\(mod\;M\)的逆元
有$$inv[i+1] * (i+1) \Leftrightarrow \frac{1}{(i+1)!}*(i+1) \Leftrightarrow \frac{1}{i!} \Leftrightarrow inv[i]$$
即$$inv[i] = inv[i+1]*(i+1)%M$$
先求出\(n!\)的逆元,然后逆推
时间复杂度\(O(n)\)(准确是近似\(O(n+log(p))\))
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\(crt\)
- 基础应用 : 求解模数互质的线性同余方程组
- 解为
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其中\(M = \prod_{i = 1}^n m_i,M_i = M/m_i\),
\(t_i\)是\(M_i\)在\(mod\;m_i\)意义下的逆元,即\(M_it_i \equiv 1(mod\;m_i)\) -
带入原方程组即可验证正确性
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代码如下
int n,a[N],m[N];
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) {
if(b == 0) {
x = 1; y = 0; return a;
}
ll res = exgcd(b,a%b,x,y);
ll t = x; x = y; y = t-(a/b)*y;
return res;
}
ll crt(ll a[],ll m[],int n) {
ll res = 0,M = 1;
for(int i = 1;i <= n; ++i) M *= m[i];
for(int i = 1;i <= n; ++i) {
ll M_i = M/m[i],t,y;
exgcd(M_i,m[i],t,y);
res = (res+(a[i]*M_i*t)%M)%M;
}
return (res+M)%M;
}
\(excrt\)
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基础应用
求解模数不互质的线性同余方程组
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求法
假设已经求得前\(i-1\)个方程的一个解\(x_0\),则前\(i-1\)个方程的通解为
\[X = x_0+k*M_{i-1} \]其中\(M_{i-1}\)为\([m_1,m_2,m_3...m_{i-1}]\)
那么对于第\(i\)个方程,即求一个\(t\),
使得\(X \equiv a_i(mod\;m_i)\)成立,即求解线性同余方程
\[M_{i-1}*t \equiv a_i-x_0(mod\;m_i) \]利用\(exgcd\)求得(如果无解则此方程组无解)前\(i\)个方程的一个解为\(x_0{'} = x_0+t*M_{i-1}\),则前\(i\)个方程的通解为
\[X{'} = x_0{'}+k*[M_{i-1},m_i] \]所以做\(n-1\)次\(exgcd\)即可求得解
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注意
由于出题人的
毒瘤,经常会爆\(long\;long\),所以可采用慢速乘对一次乘法多次取模,使用慢速乘的时候要尤其注意\(a*b\;mod\;p\)中\(b\)必须为正(否则会死循环) -
代码如下
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) {
if(b == 0) {
x = 1; y = 0; return a;
}
ll res = exgcd(b,a%b,x,y);
ll t = x; x = y,y = t-(a/b)*y;
return res;
}
ll mul(ll a,ll b,ll p) {
ll res = 0;
b = (b%p+p)%p;
for(; b;b >>= 1) {
if(b&1) res = (res+a)%p;
a = (a<<1)%p;
}
return res;
}
ll excrt(ll a[],ll m[],int n) {
ll X = a[1],M = m[1],t,y;
for(int i = 2;i <= n; ++i) {
ll c = ((a[i]-X)%m[i]+m[i])%m[i];
ll g = exgcd(M,m[i],t,y),mi = m[i]/g;
if(c%g) return -1;
t = mul(t,c/g,mi);
X += M*t;
M *= mi;
X = (X%M+M)%M;
}
return (X%M+M)%M;
}
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\(crt\)和\(excrt\)都需注意的一点
题目中的\(a[N],m[N]\)数组有时是反着给的,要看清楚
\(BSGS\)
- 咕咕咕(太累了,有时间再学吧)
