从dp角度对最短路的又一些理解

spfa通常用来解决最短路问题

在图论中,又有一类特殊的最短路模型一一DAG

众所周知,DAG可以通过dp解决,当然求最短路的算法也同样适用于DAG

而普通的图,可能会含有环,这就造成了后效性,所以不能用dp解决,但可以仿照dp的思想,写一个类似dp的方程

令$dis_u$表示源点到$u$的最短路径长度,$v$表示与$u$相连的节点,$w$为边权

有$$dis_v = min\left \{ dis_u+w \right \} $$

这和dp中刷表法的写法一模一样($f_v = min\left \{ f_u+w \right \}$),都是顺推的写法(当然也可以逆推)

而spfa则是通过迭代的方式使所有状态收敛(不能再更新)(引自 算法竞赛进阶指南)

spfa的灵魂是队列优化,而一般的最短路题目中,spfa队列中保存的是"可能会更新子节点(无向图可看作互为子节点)的点"

相应的,只有被更新(值发生改变)的点才有可能更新子节点

spfa就可以求解这样的具有后效性的dp(或者不能叫dp)

如P4042,就是这样的例子