P4329 [COCI2006-2007#1] Bond
一道状压的好题
首先拿到题,想都没想就设$f[l][i][j]$表示第$l$个人在状态$i$(此处的状态为任务是否被完成)下选j任务的最大成功率
有$$f[l][i][j] = max\left \{ f[l-1][i-\left \{ j \right \}][k]*p[l][j] \right \}$$
时间复杂度$O(n^3*2^n)$
空间复杂度$O(n^2*2^n)$
显然都不行
但我还是压了一维空间后交了一下,竟然有$75pts$
代码如下
1 #include <iostream> 2 #include <algorithm> 3 #include <cstdio> 4 #include <cstring> 5 #define ll long long 6 using namespace std; 7 8 template <typename T> void in(T &x) { 9 x = 0; T f = 1; char ch = getchar(); 10 while(!isdigit(ch)) {if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();} 11 while( isdigit(ch)) {x = 10 * x + ch - 48; ch = getchar();} 12 x *= f; 13 } 14 15 template <typename T> void out(T x) { 16 if(x < 0) x = -x , putchar('-'); 17 if(x > 9) out(x/10); 18 putchar(x%10 + 48); 19 } 20 //------------------------------------------------------- 21 22 const int N = 20; 23 24 int n; 25 double f[1<<N][N]; 26 double p[N][N]; 27 28 int main() { 29 //freopen("0_1.in","r",stdin); 30 int i,j,k,l,a; 31 in(n); 32 for(i = 0;i < n; ++i) { 33 for(j = 0;j < n; ++j) { 34 in(a); p[i][j] = a/100.0; 35 } 36 } 37 for(j = 0;j < n; ++j) f[1<<j][j] = p[0][j];//第一层//debug p[0][j] -> p[1][j] 38 for(l = 1;l < n; ++l) { 39 for(i = (1<<n)-1; i >= 0; --i) {//逆序 40 for(j = 0;j < n; ++j) { 41 if(!(i&(1<<j))) continue; 42 for(k = 0;k < n; ++k) { 43 if(k == j || !(i&(1<<k))) continue; 44 f[i][j] = max(f[i][j],f[i^(1<<j)][k]*p[l][j]); 45 } 46 } 47 } 48 } 49 double ans = 0; 50 for(i = 0;i < n; ++i) ans = max(ans,f[(1<<n)-1][i]); 51 printf("%lf",ans*100.0); 52 return 0; 53 }
再想想发现第三维根本不需要放进状态中
令$f[l][i]$表示前$l$个人状态为$i$的最大成功率,只需枚举当前选$j$号任务
有$$f[l][i] = max\left \{ f[l-1][i-\left \{ j \right \}]*p[l][j] \right \}$$
时间复杂度$O(n^2*2^n)$
空间复杂度$O(n*2^n)$
时间还是不行,但我压了空间交了一遍,有$90pts$
代码如下
1 #include <iostream> 2 #include <algorithm> 3 #include <cstdio> 4 #include <cstring> 5 #define ll long long 6 using namespace std; 7 8 template <typename T> void in(T &x) { 9 x = 0; T f = 1; char ch = getchar(); 10 while(!isdigit(ch)) {if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();} 11 while( isdigit(ch)) {x = 10 * x + ch - 48; ch = getchar();} 12 x *= f; 13 } 14 15 template <typename T> void out(T x) { 16 if(x < 0) x = -x , putchar('-'); 17 if(x > 9) out(x/10); 18 putchar(x%10 + 48); 19 } 20 //------------------------------------------------------- 21 22 const int N = 20; 23 24 int n; 25 double f[1<<N]; 26 double p[N][N]; 27 28 int main() { 29 int i,j,l; 30 in(n); 31 for(i = 0;i < n; ++i) { 32 for(j = 0;j < n; ++j) { 33 in(p[i][j]); p[i][j] /=100.0; 34 } 35 } 36 for(j = 0;j < n; ++j) f[1<<j] = p[0][j];//第一层 37 for(l = 1;l < n; ++l) { 38 for(i = (1<<n)-1; i >= 0; --i) {//逆序 39 for(j = 0;j < n; ++j) { 40 if(!(i&(1<<j))) continue; 41 f[i] = max(f[i],f[i^(1<<j)]*p[l][j]); 42 } 43 } 44 } 45 printf("%lf",f[(1<<n)-1]*100.0); 46 return 0; 47 }
最后再仔细思考,我们之所以要枚举第$l$个人是因为我们要知道当前以及选了几个人(才有$p$数组)
但实际上状态$i$中$1$的个数就是当前以及选了几个人
所以我们令$f[i]$表示状态$i$下的最大成功率
有$$f[i] = max\left \{ f[i-\left \{ j \right \}]*p[cnt][j] \right \}$$
$cnt$为$i$中$1$的个数
时间复杂度$O(n*2^n)$
空间复杂度$O(2^n)$
可行
代码如下
1 #include <iostream> 2 #include <algorithm> 3 #include <cstdio> 4 #include <cstring> 5 #define ll long long 6 using namespace std; 7 8 template <typename T> void in(T &x) { 9 x = 0; T f = 1; char ch = getchar(); 10 while(!isdigit(ch)) {if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();} 11 while( isdigit(ch)) {x = 10 * x + ch - 48; ch = getchar();} 12 x *= f; 13 } 14 15 template <typename T> void out(T x) { 16 if(x < 0) x = -x , putchar('-'); 17 if(x > 9) out(x/10); 18 putchar(x%10 + 48); 19 } 20 //------------------------------------------------------- 21 22 const int N = 21; 23 24 int n; 25 double f[1<<N]; 26 double p[N][N]; 27 28 int main() { 29 int i,j; 30 in(n); 31 for(i = 0;i < n; ++i) { 32 for(j = 0;j < n; ++j) { 33 in(p[i][j]); p[i][j] /=100.0; 34 } 35 } 36 f[0] = 1; 37 for(i = 1;i < (1<<n); ++i) { 38 int s = i,cnt = -1;//注意这里是0基准 39 /*while(s) { 40 if(s&1) ++cnt; 41 s >>= 1; 42 }*/ 43 for(;s;s >>= 1) if(s&1) ++cnt;//统计1的个数 44 for(j = 0;j < n; ++j) { 45 if(i&(1<<j)) f[i] = max(f[i],f[i^(1<<j)]*p[cnt][j]); 46 } 47 } 48 printf("%lf",f[(1<<n)-1]*100.0); 49 return 0; 50 }
但这题还可以用二分图带权匹配或费用流$A$了
好吧我也不会$QwQ$
