蓝桥杯 k倍区间（前缀和问题）

题目描述
给定一个长度为N的数列，A1, A2, ... AN，如果其中一段连续的子序列Ai, Ai+1, ... Aj(i <= j)之和是K的倍数，我们就称这个区间[i, j]是K倍区间。 
你能求出数列中总共有多少个K倍区间吗？ 
输入
输入数据：
第一行包含两个整数N和K。(1 <= N, K <= 100000)  
以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100000)
输出
输出数据：
输出一个整数，代表K倍区间的数目。
样例输入

5 2
1  
2  
3  
4  
5 

样例输出

6

资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗 < 2000ms
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之前没有学过这个前缀和，所以这道题目没有写出来（很菜），所以借助这道题目顺便来学习一下前缀和的解题思想。

以下解题思路来自这篇博客：点击跳转

题目思路
　　求区间[l,r]的和是k的倍数的个数。求区间和，我们可以通过前缀和来求出。我们规定sum[i]表示第1个元素到第i个元素的和。那么sum[r] - sum[l-1]就是区间[l,r]的和。区间[l,r]的和是k的倍数即(sum[r] - sum[l-1])%k == 0 即sum[r]%k == sum[l-1]%k
　　那么，我们求出每个前缀和，在求的过程中取模，两个相等的前缀和就能组成一个k倍区间。我们可以在计算完前缀和以后，使用两层for循环来计数k倍区间的个数。但是由于数据量较大，这样是会超时的。那么我们是否能在计算前缀和的过程中来记录k倍区间的个数呢？
我们用一个数组cnt[i]表示当前位置之前，前缀和取模后等于i的个数。举个例子：
　　数列 1 2 3 4 5   mod = 2
　　对前1个数的和取模， 为1 之前有0个前缀和取模后为1，个数+0
　　对前2个数的和取模， 为1 之前有1个前缀和取模后为1，个数+1
　　对前3个数的和取模， 为0 之前有0个前缀和取模后为0, 个数+0
　　对前4个数的和取模， 为0 之前有1个前缀和取模后为0，个数+1
　　对钱5个数的和取模， 为1 之前有2个前缀和取模后为1，个数+2
　　到目前为止ans = 4。但是ans应该等于6，因为这样计算后，我们漏掉了前i个数的和取模是k的倍数的情况，即[0,i]区间和是k的倍数，因此，我们要在ans = 4 的基础上 加上前缀和取模后为0的个数 即ans+2 = 6;

上面的题解看懂的话，就不用看下面的这部分了。下面是用自己的话转化成自己的理解，也方便自己在以后重新翻阅博客的时候，能够快速重新学习。
　　举个简单的例子，比如测试样例为：
　　6 3

　　1 3 4 5 8 9
　　那么正确的答案应该是6。前缀和的解题思想主要就是再遍历输入数据的时候，把数组的前缀和%k（为什么要对k取余，上面的解题思路就写的很好理解）之后保存到数组sum里面，那么 1 3 4 5 8 9，取完前缀和并%k之后就是 1 1 2 1 0 0。数组中的后面两个0，不难理解就是前缀和%k为0的组合，也就是说，sum[i] == 0的，都是满足条件的。接下来再统计相同sum[i]的组合。相同sum[i]的意思就是在求的过程中取模，两个相等的前缀和就能组成一个k倍区间。比如前两个1之间，sum[r]-sum[l-1]之间的数%k==0（就是3%3==0）。所以用另外的一个数组cnt来保存同样的sum[i]的个数值，用ans一直递加sum[i]相同个数的组合，后面再加上cnt[0](表示%k==0)的个数就是答案了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long int ull;
int sum[100001];
int num[100001];
int cnt[100001];
int n,k;
ull ans = 0;
int main(){
	memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
	memset(sum, 0, sizeof(sum));
	scanf("%d%d",&n, &k);
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		scanf("%d",&num[i]);
		sum[i] = (sum[i-1] + num[i])%k;
		ans += cnt[sum[i]];
		cnt[sum[i]]++;
	}
//	for(int i=1;i<=n;i++)
//        cout << sum[i] << " ";
//    cout << endl;
	printf("%lld\n",ans+cnt[0]);
	return 0;
}