【BZOJ3450】Easy（期望）

题意：

某一天WJMZBMR在打osu~~~但是他太弱逼了，有些地方完全靠运气:(
我们来简化一下这个游戏的规则
有n次点击要做，成功了就是o，失败了就是x，分数是按comb计算的，连续a个comb就有a*a分，comb就是极大的连续o。
比如ooxxxxooooxxx，分数就是2*2+4*4=4+16=20。
Sevenkplus闲的慌就看他打了一盘，有些地方跟运气无关要么是o要么是x，有些地方o或者x各有50%的可能性，用?号来表示。
比如oo?xx就是一个可能的输入。
那么WJMZBMR这场osu的期望得分是多少呢？
比如oo?xx的话，?是o的话就是oooxx => 9，是x的话就是ooxxx => 4
期望自然就是(4+9)/2 =6.5了

n<=300000

思路：几年前某场联赛模拟的题

显然有一个二维dp[i][j]表示当前到第i位，后缀o的长度为j的期望

对于a[i]=?

\[ dp[i][j]=(dp[i+1,j+1]+(j+1)^2-j^2+dp[i+1][0])/2 \]

于是发现j变大1的贡献是线性的2j+1，而期望具有线性的可加性

所以第二维可以省略

设f[i]为当前到第i位的期望，g[i]为当前到第i位后缀o长度的期望

转移类似

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int uint;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<int> VI;
#define fi first
#define se second 
#define MP make_pair
#define N   1100000
#define MOD 1000000007
#define eps 1e-8 
#define pi acos(-1)

char a[N];
double f[N],g[N];

int read()
{ 
   int v=0,f=1;
   char c=getchar();
   while(c<48||57<c) {if(c=='-') f=-1; c=getchar();}
   while(48<=c&&c<=57) v=(v<<3)+v+v+c-48,c=getchar();
   return v*f;
}

int main()
{
    //freopen("bzoj3450.in","r",stdin);
    //freopen("bzoj3450.out","w",stdout);
    int n;
    scanf("%d",&n);
    scanf("%s",a+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]=='x'){f[i]=f[i-1]; g[i]=0;}
        if(a[i]=='o'){f[i]=f[i-1]+g[i-1]*2+1; g[i]=g[i-1]+1;}
        if(a[i]=='?'){f[i]=f[i-1]+g[i-1]+0.5; g[i]=(g[i-1]+1)/2;}
    }
    printf("%.4lf\n",f[n]);
    return 0;
}