【BZOJ1492】货币兑换Cash（CDQ分治）
题意：
小 Y 最近在一家金券交易所工作。该金券交易所只发行交易两种金券：A 纪
念券（以下简称 A 券）和 B 纪念券（以下简称 B 券）。每个持有金券的顾客都有
一个自己的帐户。金券的数目可以是一个实数。
每天随着市场的起伏波动，两种金券都有自己当时的价值，即每一单位金券
当天可以兑换的人民币数目。我们记录第 K 天中 A 券和 B 券的价值分别为 AK 和
BK （元/单位金券）。
为了方便顾客，金券交易所提供了一种非常方便的交易方式：比例交易法。
比例交易法分为两个方面：
a) 卖出金券：顾客提供一个[0，100]内的实数OP作为卖出比例，其意
义为：将OP%的A券和OP%的B券以当时的价值兑换为人民币；
b) 买入金券：顾客支付IP元人民币，交易所将会兑换给用户总价值为
IP的金券，并且，满足提供给顾客的A券和B券的比例在第K天恰好为RateK；
例如，假定接下来3天内的Ak 、Bk、Ratek 的变化分别为：
时间 Ak Bk Ratek
第一天 1 1 1
第二天 1 2 2
第三天 2 2 3
假定在第一天时，用户手中有100元人民币但是没有任何金券。
用户可以执行以下的操作：
时间 用户操作 人民币(元) A券的数量 B券的数量
开户 无 100 0 0
第一天 买入100元 0 50 50
第二天 卖出50% 75 25 25
第二天 买入60元 15 55 40
第三天 卖出100% 205 0 0
注意到，同一天内可以进行多次操作。
小 Y 是一个很有经济头脑的员工，通过较长时间的运作和行情测算，他已经
知道了未来 N 天内的 A 券和 B 券的价值以及 Rate。他还希望能够计算出来，如
果开始时拥有S元钱，那么N天后最多能够获得多少元钱。
思路：转载自http://www.cnblogs.com/zig-zag/archive/2013/04/24/3039418.html
首先分析一下题目，对于任意一天，一定是贪心地买入所有货币或者卖出所有货币是最优的，因为有便宜我们就要尽量去占，有亏损就一点也不去碰。于是我们得到方程：
f[i]=max{f[j]/(a[j]*rate[j]+b[j])*rate[j]*a[i]+f[j]/(a[j]*rate[j]+b[j])*b[i]}
其中，x[j]=f[j]/(a[j]*rate[j]+b[j])*rate[j]表示第j天最多可以拥有的A货币的数量
y[j]=f[j]/(a[j]*rate[j]+b[j])表示第j天最多可以拥有的B货币的数量
那么方程可化简为f[i]=max{x[j]*a[i]+y[j]*b[i]}，那么我们就是要选择一个最优的决策点(x[j],y[j])来更新f[i]得到最优解。
变形：y[j]=f[i]/b[i]-x[j]*a[i]/b[i]，这是一个直线的斜截式方程，由于我们是用j去更新i，那么就相当于每次用一条斜率为-a[i]/b[i]的直线去切由若干(x[j],y[j])点组成的集合，能得到的最大截距的点，就是最优决策点，进一步，就是要维护一个由若干(x[j],y[j])点组成凸壳，因为最优决策点一定在凸壳上。
但是对于斜率-a[i]/b[i]和点(x[j],y[j])都是无序的，于是我们只能用一棵平衡树来维护凸壳，每次找到斜率能卡到的点(此点左侧的斜率和右侧的斜率恰好夹住-a[i]/b[i]斜率)。
具体splay实现：我们维护x坐标递增的点集，每次把新点插入到相应位置，更新凸壳的时候，分别找到新点左右能与它组成新的凸壳的点，把中间的点删掉；如果这个点完全在旧的凸壳内，那么把这个点删掉。每次找最优决策点的时候就拿-a[i]/b[i]去切凸壳就行了。
但这样搞实在是麻烦了许多，而且许多人得splay代码非常的长，在考场上就非常不容易写出来，于是出现了神一般的陈丹琪分治！
这个神级分治的精髓在于：变在线为离线，化无序为有序。
上面我们分析了，因为点和斜率都不是单调的，所以我们只能用一棵平衡树去维护。我们考虑导致无序的原因，是我们按照顺序依次回答了1..n的关于f值的询问。但是事实上我们并没有必要这么做，因为每个1..n的f[i]值，可能成为最优决策点一定在1..i范围内，而对于每个在1..i范围内的决策点，一定都有机会成为i+1..n的f值得最优决策点。这样1..i的f值一定不会受1..i的决策点的影响，i+1..n的点一定不会i+1..n的f值。于是可以分治！
对于一个分治过程solve(l,r)，我们用l..mid的决策点去更新mid+1..r这部分的f值，这样递归地更新的话，我们一定可以保证在递归到i点的时候，1..i-1的点都已经更新过i点的f值了。我们看到，分治的过程中，左半区(l..mid)和右半区(mid+1..r)这两个区间的作用是不同的，我们要用左半区已经更新好的f值去求出点(x,y)，然后用右半区的斜率去切左半区的点集更新f值。对于左半边我们需要的只是点(x,y)，右半区我们需要的只是斜率-a[i]/b[i]，两部分的顺序互不影响。于是，我们在处理好左半边的东西的时候保证点集按坐标排好序，在处理右半区之前保证询问按照斜率排好序，这样相当于用一系列连续变化的直线去切一些连续点组成的凸壳，那么我们就可以简单地用一个栈来维护连续点组成的凸壳，用扫描的方法更新f值。我们一开始就排好询问的顺序，然后保证在solve之前还原左半区询问集合的顺序，这样就保证了按照原顺序得到f值；在solve之后把两部分点集归并，这样就保证了每个过程中的点集是有序的。
1 const eps=1e-9; 2 type arr=record 3 x,y,rate,a,b,k:double; 4 id:longint; 5 end; 6 7 var p,q:array[0..300000]of arr; 8 stack:array[0..300000]of longint; 9 dp:array[0..300000]of double; 10 n,m,i,top:longint; 11 12 function fabs(x:double):double; 13 begin 14 if x<0 then exit(-x); 15 exit(x); 16 end; 17 18 function slope(x,y:longint):double; 19 begin 20 if fabs(y)<eps then exit(-1e20); 21 if fabs(q[x].x-q[y].x)<eps then exit(1e20); 22 exit((q[x].y-q[y].y)/(q[x].x-q[y].x)); 23 end; 24 25 function max(x,y:double):double; 26 begin 27 if x>y then exit(x); 28 exit(y); 29 end; 30 31 procedure swap(var x,y:arr); 32 var t:arr; 33 begin 34 t:=x; x:=y; y:=t; 35 end; 36 37 procedure cdq(l,r:longint); 38 var mid,l1,r1,i,j:longint; 39 begin 40 if l=r then 41 begin 42 dp[l]:=max(dp[l],dp[l-1]); 43 q[l].y:=dp[l]/(q[l].rate*q[l].a+q[l].b); 44 q[l].x:=q[l].y*q[l].rate; 45 exit; 46 end; 47 mid:=(l+r)>>1; 48 l1:=l; r1:=mid+1; 49 for i:=l to r do 50 if q[i].id<=mid then 51 begin 52 p[l1]:=q[i]; inc(l1); 53 end 54 else 55 begin 56 p[r1]:=q[i]; inc(r1); 57 end; 58 for i:=l to r do q[i]:=p[i]; 59 cdq(l,mid); 60 top:=0; 61 for i:=l to mid do 62 begin 63 while (top>1)and 64 (slope(stack[top-1],stack[top])<slope(stack[top-1],i)+eps) do dec(top); 65 inc(top); 66 stack[top]:=i; 67 end; 68 inc(top); stack[top]:=0; j:=1; 69 for i:=mid+1 to r do 70 begin 71 while (j<top)and(slope(stack[j],stack[j+1])+eps>q[i].k) do inc(j); 72 dp[q[i].id]:=max(dp[q[i].id],q[stack[j]].x*q[i].a+q[stack[j]].y*q[i].b); 73 end; 74 cdq(mid+1,r); 75 l1:=l; r1:=mid+1; 76 for i:=l to r do 77 if (((q[l1].x<q[r1].x)or((fabs(q[l1].x-q[r1].x)<eps)and 78 (q[l1].y<q[r1].y)))or(r1>r))and(l1<=mid) then 79 begin 80 p[i]:=q[l1]; inc(l1); 81 end 82 else 83 begin 84 p[i]:=q[r1]; inc(r1); 85 end; 86 for i:=l to r do q[i]:=p[i]; 87 88 end; 89 90 procedure qsort(l,r:longint); 91 var i,j:longint; 92 mid:double; 93 94 begin 95 i:=l; j:=r; mid:=q[(l+r)>>1].k; 96 repeat 97 while mid<q[i].k do inc(i); 98 while mid>q[j].k do dec(j); 99 if i<=j then 100 begin 101 swap(q[i],q[j]); 102 inc(i); dec(j); 103 end; 104 until i>j; 105 if l<j then qsort(l,j); 106 if i<r then qsort(i,r); 107 end; 108 109 begin 110 assign(input,'bzoj1492.in'); reset(input); 111 assign(output,'bzoj1492.out'); rewrite(output); 112 readln(n,dp[0]); 113 for i:=1 to n do 114 begin 115 read(q[i].a,q[i].b,q[i].rate); 116 q[i].k:=-q[i].a/q[i].b; 117 q[i].id:=i; 118 end; 119 qsort(1,n); 120 cdq(1,n); 121 writeln(dp[n]:0:3); 122 close(input); 123 close(output); 124 end.
