引入
同样的几何问题，在中学的不同阶段所使用的解题技巧也会不同：
- 在初中，熟悉几何定理，需要添加辅助线；
- 在高中，需要建立坐标系，采用向量的方法，套对应的公式；
规律就是几何问题逐渐代数化。
几何代数化（解析几何）之所以强大，在于它将几何问题转化为代数问题，从而可以利用代数工具解决一些用传统几何方法难以处理的问题。下面是几个例子，展示了解析几何相对于传统几何方法的优越性：
案例1：找出三角形的外心
传统方法：在传统几何中，找到一个三角形的外心通常需要使用尺规作图法，通过作垂直平分线找到外心的位置，步骤繁琐且容易出错。
解析几何方法：在解析几何中，我们只需将三角形的顶点放在坐标系中，然后计算出三条边的中点，进而得到三条边的垂直平分线的方程。接着，两两求解这些直线的交点即可得到外心。计算过程可以通过代数运算完成，相对直接和简单。
案例2：证明两条线段垂直
传统方法：在传统几何中，证明两条线段垂直可能需要使用角度的几何性质，例如勾股定理或直角三角形的性质，当线段复杂时不易操作。
解析几何方法：在解析几何中，我们可以将线段的端点表示为坐标形式，并求出线段所在直线的斜率。如果两条直线的斜率互为负倒数（即一条斜率为 (m)，另一条为 (-1/m)），那么这两条直线垂直。这种方法转换为简单的代数计算，易于执行。
案例3：确定与一组点等距离的点的位置
传统方法：在传统几何中，找到与一组点等距离的点可能涉及到复杂的几何构造，并且对于不同的点集可能需要不同的方法。
解析几何方法：在解析几何中，我们可以将点集放入坐标系内，然后利用点到点的距离公式来设置方程组。通过求解这个方程组，我们可以找到满足条件的点。这种方法是统一的，可以用于任何点集，并且易于通过编程实现。
案例4：研究二次曲线的性质
传统方法：在传统几何中，研究二次曲线（如椭圆、双曲线、抛物线）的性质通常是通过几何图形的绘制和分析来完成的，这要求有较高的绘图精度和直观感知力。
解析几何方法：在解析几何中，二次曲线可以直接通过它们的方程来研究。我们可以通过分析方程的系数、使用代数变换等方法来探究曲线的形状、位置、焦点等性质，而无需精确绘制它们。
以上案例说明了解析几何在处理几何问题时相对于传统几何的优势。它提供了一种更为通用和算法化的途径，使得问题的解决更加高效和准确。
思想
欧氏几何没有建立坐标系，点和图形的特点和性质需要通过相互之间的关系来体现，如果图形上没有直接的联系，那么就很难明确地指出它们之间的关系，所以经常需要添加辅助线。
几何的推理性是要弱于代数的推理性的。
几何定理比如：两直线平行，内错角相等，这种找条件得结论的定理。所以在解题的时候，很多时候就在加平行线，如果不加辅助线，那么我们掌握的几何定理将无法使用，从而无法推理前进。
几何推导，是在推导其相互关系，从已知的角到未知的角...通过相互关系的困难在于，如果缺失彼此的相互联系的桥梁，比如缺少了一个角和一根线，那么相互关系就会断层，辅助线的构造就是为了保证推演关系的连续性。
添加辅助线是欧氏几何的特点，解析几何通常不需要。添加辅助线并不是多了条件，而是让原本就存在的“隐藏条件”显现出来。
解析几何通过建立坐标系，把空间内的点坐标化，坐标表达了点的全部信息，那么由点构成的曲线、曲面等图形，它们的信息也都蕴含在相应的方程以及参数里，通过方程和参数之间的关系，就可以找到点（元素）或者图形（集合）之间的关系，所以不太需要添加辅助线。
解析几何是通过先将几何元素和信息映射到坐标系，通过坐标标尺的转换关系与另外的几何元素联系起来。
通过坐标系这个中间件，可以让两个独立的几何元素联系了起来。
解析几何不关注几何元素之间的相互关系，只关心怎么代数化，然后就更加抽象，更加灵活，更加连续的代数处理，最后在转回几何结论。
举例：
如果你要证明两条相隔很远的直线是否平行，
传统方法（非解析几何）必须要做辅助图形，将两个直线连接起来。
而解析几何就很简单了，只需要写出坐标，比较斜率或者作向量外积分即可。
举个最简单的例子：证明平行关系。
欧式几何中，要证明两条直线平行，通常是通过作一条它们的交线，证明同位角相等，或者证明它们都平行于第三条直线，其他证明方法的原理也基本都是这样，如果没有这第三条直线：交线或者平行线，就难以证明它们平行。
解析几何中，只要求出两条直线的方向向量，不需要任何“第三者”的介入，仅仅上比较它们自身的特点，就可以证明它们平行。
（另外，诸如垂直、点到直线的距离、点到平面的距离、平行线间的距离、平行的直线与平面给间的距离、直线之间的夹角等等很多概念，解析几何的定义也远比欧式几何要清楚明确得多。）
总结：
避免两个物体需要各式各样的第三发来证明联系，采用中心化标准去处理。
