什么是算法程序？
算法程序通常指的是执行特定算法的计算机程序。要深入理解这个概念，我们可以将其分解为“算法”和“程序”两部分，并探究它们的基本含义。
简而言之：对特定问题求解过程的描述。
算法 (Algorithm):
定义：算法是解决问题的明确步骤序列，它是独立于任何编程语言的，可以用伪代码、流程图或者简单的自然语言来描述。
特点：
- 有穷性：算法在执行有限步骤之后会自动结束。
- 确定性：算法的每一个步骤都有明确的定义，不会产生二义性。
- 输入：算法有0个或多个输入。
- 输出：算法有一个或多个输出，是算法处理输入后的结果。
- 可行性：算法的每一步都必须足够基础，可以通过已有的基本运算步骤实现。
程序 (Program):
定义：程序是算法用某种编程语言的具体实现，它是指令的集合，计算机可以直接解释或编译后执行这些指令。
特点：
- 语言相关：程序必须用一种计算机可以理解的语言编写，如Python、C++、Java等。
- 可执行：程序可以在计算机上运行，对输入数据进行处理，输出结果。
- 交互性：程序可以与用户或其他系统交互，响应输入并提供相应的输出。
怎么检验算法程序的好坏？
衡量算法效率的标准是时间，而衡量时间的标准则是算法需要的步骤数。
为什么说衡量时间的标准是程序的步骤数？
同样的程序在不同的机器上运行，如果机器间硬件差异大，那么得到的时间肯定是不一样的。
而不管什么机器，他们所需要执行的步骤数一定是一致的，所以使用步骤数作为衡量的标准。
简而言之：衡量算法效率的唯一指标就是算法需要的步骤数。
怎么得到算法需要的步骤数？
使用大O表示法。在计算机科学中，它在分析算法复杂性的方面非常有用。
大O表示法定义：
在计算机科学里，大O 表示法用来表示一个算法的上界。用输入函数的大小来表示算法的最大运行时间。
大O表示法
什么是大O表示法?
result = O(int n); 就类似一个函数，你输入数字进去，会得到一个数字结果。
下图是一个很好的记忆辅助工具图，展示了算法的相对速度。（如果有的选，就选更快的算法！）
希望下面的生日蛋糕能让大 O 表示法更好理解。
O(1) - 常数时间
对于常数时间，举例：不管多少人参加生日聚会，都只需要做一个蛋糕。因此制作蛋糕的时间是一个常量。
O(1)：常数复杂度。表示无论输入规模如何增长，算法的执行时间都保持不变。
O(log n) - 对数时间
一个 O(log n) 操作的例子是有序数组的二分查找。
O(log n)：对数复杂度。表示算法的执行时间与输入规模的对数成正比。
在数据结构中，操作的时间复杂度为 ( \log N ) 通常比 ( N ) 更高效。这里是为什么以及如何计算：
1. 什么是 ( log N )
2. 为什么 ( log N ) 比 ( N ) 高效 ？
3. 应用场景
- 二分查找：在一个排序好的数组中查找一个元素，时间复杂度为 $ ( O(\log N) )$，因为每次查找可以将搜索空间减少一半。
- 平衡树：如 AVL 树、红黑树等，基本操作（插入、删除、查找）都有 $ ( O(\log N) ) $ 的复杂度。
4. 计算 ( log N ) 的简单方法
可以通过反复将 ( N ) 除以 2 来估算 \(( log_2 N )\) 的值，直到结果为 1：
N = 16
16 / 2 = 8
8 / 2 = 4
4 / 2 = 2
2 / 2 = 1
这里操作了 4 次，所以 $ ( \log_2 16 = 4 ) $。
5. Log N 的底数是什么？
总之，在大 O 表示法中，底数是可以忽略的，主要关注的是增长的速度。
总结
$ ( \log N ) $ 的效率来源于其缓慢的增长速度，使得在处理大规模数据时显得更加高效。
O(n) - 线性时间
一个 O(n) 操作的例子是用最粗暴的方式在数组里遍历找到指定元素。在 10 个元素的数组里，最坏情况下需要找十次才能找到指定元素。在 100 万个元素的数组里，可能需要找 100 万次。
O(n)：线性复杂度。表示算法的执行时间与输入规模成线性关系。
O(n^2) - 二次时间
对于二次时间，举例来说，每个参会者都有属于自己的蛋糕，另外，每个蛋糕上的都会有所有人在上面签名。
O(n^2)：二次复杂度。表示算法的执行时间与输入规模的平方成正比。
O(n!) - 阶乘时间
如果我们只有一个乐高积木，很显然，我们只需要完成一次任务。如果有两个乐高积木，我们有两种选择的可能，：
- 可以是“先叠塔后建桥”
- 或者“先建桥后叠塔”； （所以我们得完成2次任务）
如果有三个乐高积木，可能性就更多了：
- “先叠塔、再建桥、最后造房子”
- 或者“先造房子、再叠塔、最后建桥”
- ……一共有6种可能的顺序。
我们可以看到，每增加一个乐高积木，可能的任务完成顺序会急剧增加。
如果我们有4个乐高积木，可能的顺序就有24种（也就是4的阶乘，即4!）；如果有5个，就有120种（5!）；以此类推。
现在，我们用大O表示法来描述这个情况。我们说，如果游戏的规则要求我们探索每一种可能的顺序，那么这个游戏的难度（或者说我们完成任务所需要的时间）是“阶乘时间”的，用大O表示法就是O(n!)，其中n是乐高积木的数量。这意味着，乐高积木数量的一个小小增加会让游戏变得极其困难，因为可能的顺序数量增加得非常快。
O(n!)表示阶乘时间复杂度，其中n是输入规模。阶乘时间复杂度表示算法的执行时间与输入规模的阶乘成正比。
具体来说，如果一个算法的时间复杂度为O(n!)，则意味着随着输入规模n的增加，算法的执行时间将按照输入规模的阶乘增长。这种复杂度通常非常高，意味着算法的执行时间会非常快速地增长，因此阶乘时间复杂度的算法通常不适用于大规模数据的情况。
举例来说，如果一个算法的时间复杂度是O(n!)，那么当n=3时，执行时间可能是1秒；当n=4时，执行时间可能是24秒；当n=5时，执行时间可能是120秒，以此类推。因此，随着输入规模的增加，执行时间会非常快速地增长。
阶乘时间的例子在现实中比较少见，因为随着n的增长，时间复杂度会变得非常高，这样的算法通常不适用于大量数据的处理。
常见的阶乘时间算法包括：
- 解决旅行推销员问题（寻找最短可能路径访问一系列城市并返回出发点）的暴力搜索算法。
- 旅行商问题。
程序优化
-
确定代码效率是优化的第一步；
如果连代码运行速度都不知道，那又怎么能知道怎么修改让他变得更快呢？
参考：《秒懂算法：用常识解读数据结构》第7章 -
一般认为复杂度为 O(N^2)的算法是比较慢的。如果你的算法也属于此类，可以停下来思考一下有没有优化方法。
当然 O(N^2)的算法对于特定问题来说，可能就是最优解了。
Reference
图解大 O 表示法
https://www.freecodecamp.org/chinese/news/big-o-notation/
