Core
集合的表示
集合的三特性
元素与集合的关系
集合间的关系
集合间的运算
总结
Reference

集合（Set）就是一种用来装事物的容器（或者称为结构），它所装的东西叫元素（Element）。集合这个容器的逻辑性很强，可以说是现在比较严谨的工具，不熟悉逻辑符号和逻辑思想的话，可以先去了解一下。

集合里的元素，它们可以是任何类型的数学对象：数字、符号、变量、空间中的点、线、面，甚至是其他集合，当然它也可以不是数学对象，一些其他事物。

规定：

元素通常用 a, b, c, d, x等小写字母来表示；
而集合通常用A, B, C, D, X等大写字母来表示。一些大写字母已经约定俗成的表示某类数，比如Q是有理数，R是实数，C是复数，I是虚数...

Core

集合的概念很多，去记忆他们的符号、计算方式都不是正道，正道是要理清楚他们的逻辑就行。他的概念众多，但只要从它的三个特性出发，由集合和元素关系、集合和集合关系就能推演出其它概念。所以不用去刻意他的符号、运算什么的，浪费时间，用到去查询就行。
你如果没有get他的逻辑、区别、差异，说明就不会运用，更别提查询了。

集合的表示

集合的表示无非是想给这个容器定义好边界、大小，让人能一眼看出它里面能装多少个多大、多小的数字。
常见的表示方式：

描述法
可以用文字描述，比如： A = 大于零的前三个自然数
也可以用数学符号描述，比如： A = {x|x>0 且 x<4}
列举法
直接罗列全部出来，比如：{1,2,3}

常见的数学描述符号：
|、：、∀、∃、∴

∃ 是存在量词，代表“存在”的意思。它经常用于数学、逻辑学和哲学中，表示存在至少一个x满足某个条件。

集合的三特性

集合概念众多，但是它的三特性必须得记住:

无序性：集合中的元素没有特定的顺序，集合中的元素之间没有先后之分。
互异性：集合中的元素是互不相同的，即集合中不会出现重复的元素。
确定性：对于任意一个元素，要么它属于集合，要么它不属于集合，不存在模棱两可的情况。

元素与集合的关系

元素与集合的关系只有两种，不存在其他模棱两可的情况：

属于 ∈
不属于 ∉

集合间的关系

集合与集合之间的基本关系只有两种：

相等 = ≠
包含 ⊆ ⊄
真包含 ⫋

基于集合间的关系，衍生出一些集合的概念，我们逐个来了解一下:

空集 ∅ 、 {}
就是说这个集合里面什么都不包含；
子集（Subset）

符号类似 A ≤ B

包含关系指的是一种子集关系。具体来说，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，并且集合B中存在至少一个元素不属于集合A，那么我们就可以说集合A包含于集合B，或者集合B包含A。
记作：A ⊆ B ，
读作: A包含于B（或B包含A）。

注意：这个包含于 和 包含 的区别！
真子集（Proper Subset）

举例理解真子集：
假设有两个集合A = {1, 2} 和 B = {1, 2, 3}。

A是B的子集，因为A中的所有元素（1和2）都属于B。
A不是B的真子集，因为A和B相等，即 A = B。
B是A的真子集，因为B包含了A中的所有元素，并且还有额外的元素3。
等集
超集（Superset）
超集是指包含一个或多个集合的集合。如果集合A的所有元素也同时属于集合B，那么集合B被称为集合A的超集。

如果集合B是集合A的子集，那么集合A就是集合B的超集。
举例：如果集合S2中的每一个元素都在集合S1中，并且集合S1中可能包含S2中没有的元素，那么集合S1就是S2的一个超集。记作S1 ⊇ S2（或S2 ⊆ S1）。

超集和真子集的区别？
真子集是一个更严格的概念，它要求除了包含集合A的所有元素外，还必须存在至少一个额外的元素不属于A。
而超集仅要求包含集合A的所有元素，没有限制其他元素的存在。
全集（Universal Set） U
全集是指在特定上下文中涵盖了所有讨论范围内元素的集合。
全集通常用符号U表示。在不同的领域和问题中，会改变符号代称。
简单的理解：全集是什么元素都有的集。不是真的什么都有。是在我们目前有兴趣的东西里什么都有。

全集的符号是大写英语字母 U ，他很容易和并集的符号 ∪ 混淆。要小心！
幂集（Power Set） P(A)
幂集是指一个集合所有子集的集合。换句话说，给定一个集合A，幂集P(A)是由A的所有可能子集所构成的集合。

例如，对于集合A = {1, 2}，它的幂集P(A)包含以下子集：
P(A) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}
其中，∅表示空集，{1}表示只包含元素1的子集，{2}表示只包含元素2的子集，{1, 2}表示包含元素1和元素2的子集。