弗里德曼-迪亚科尼斯规则，偏度，峰度

弗里德曼-迪亚科尼斯规则

在统计学中，Freedman-Diaconis规则用于确定直方图中的条柱宽度, 它以David A.Freedman和Persi Diaconis的名字命名。该规则定义：

$$条柱宽度 = 2 \times \frac{IQR}{\sqrt[3]{n}}$$

其中，IQR是四分位距，n是观测样本数目。

偏度（Skewness）

偏度用来度量随机变量概率分布的不对称性。

$$b1=\frac{m_3}{s^3}=\frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x- \mu)^3}{[\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(x- \mu)^2]^{3/2}}$$

$$g1=\frac{m_3}{m_2^{3/2}}=\frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x- \mu)^3}{[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x- \mu)^2]^{3/2}}$$

其中，$\mu$是样本均值，$s$是样本标准差，$m_2$是(偏置)样本的第二中心矩，$m_3$是样本的第三中心矩。

样本偏度的另外一个定义是：

$$G = \frac{k_3}{k_2^{3/2}} = \frac{n^2}{(n-1)(n-2)}b_1=\frac{\sqrt{n(n-1)}}{n-2}g_1$$

偏度是一种统计描述，可与直方图和正态分位数图结合使用，以表征数据或者分布。

偏度表示分布与正态分布的偏差的方向和相对大小。

偏度的取值范围：$(-\infty, \infty)$

当偏度$<$0时，概率分布偏左。

当偏度$=0$时，数据分布服从正态分布。

当偏度$>0$时，概率分布右偏。

皮尔逊第一偏度系数（众数偏度）

$$\frac{平均值-众数}{标准差}$$

皮尔逊第二偏度系数（中位数偏度）

$$\frac{3\times{(平均值 - 中位数)}}{标准差}$$

这些系数不提供偏度类型信息。

峰度（Kurtosis）

峰度和偏度一样，也是一种统计描述。峰度描述了概率分布的形状。对于此度量，较高的峰度对应较大偏差或者异常值的极端性。

$$g2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(\frac{x- \mu}{\sigma})^4-3$$

$$g2=\frac{m_4}{m_2^{2}}-3=\frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x- \mu)^4}{[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x- \mu)^2]^{2}}-3$$

标准无偏估计：

$$G_2=\frac{n-1}{(n-2)(n-3)}[(n+1)g2+6]$$

在非正态化分布中常带有偏见。

def skewness(data):
    """
    :param data: 数据
    :return: 偏度
    """
    m3 = np.sum(((data - np.mean(data)) / np.std(data)) ** 3) / (data.shape[0])
    m2 = np.sum(((data - np.mean(data)) / np.std(data)) ** 2) / (data.shape[0])

    g = m3 / np.power(m2, 3 / 2)

    skew = np.sqrt(data.shape[0] * (data.shape[0] - 1)) / (data.shape[0] - 2) * g
    return skew


def kurtosis(data):
    """
    :param data: 数据
    :return: 峰度
    """
    m4 = np.sum(((data - np.mean(data)) / np.std(data)) ** 4) / (data.shape[0])
    m2 = np.sum(((data - np.mean(data)) / np.std(data)) ** 2) / (data.shape[0])

    g2 = np.sum(((data - np.mean(data)) / np.std(data)) ** 4) / (data.shape[0]) - 3

    kurt = (data.shape[0] - 1) / ((data.shape[0] - 2) * (data.shape[0] - 3)) * ((data.shape[0] + 1) * g2 + 6)
    return kurt