线性回归预测算法

单变量的线性回归非常容易理解，就是生成一元一次方程：

y=ax+b。x表示自变量，特征属性的值；y表示因变量，预测标签的值。

二维图像更直观：x是横坐标，y是纵坐标，a是斜率，b是与纵坐标的截距。

样本的坐标点有限，也不会都在一条直线上。如何拟合一条合理的直线，本文会详细解析。

 

看懂一元一次方程的推导，就不难理解多元一次方程、一元m次方程、多元m次方程。后面的就不解析了。

不管几元几次，都可以直接调用sklearn库相关模块：sklearn.linear_model和sklearn.preprocessing。

sklearn.linear_modlel封装的是线性函数：

• 普通线性回归函数（ LinearRegression ） 

• 岭回归（Ridge） 

• Lasso（Lasso）

sklearn.preprocessing封装的是非线性函数：

• 多项式回归（PolynomialFeatures）

 

在实际项目中非线性回归远远多于线性回归。多项式回归实际上是先将变量X处理成多项式特征，然后使用线性模型学习多项式特征的参数，以达到多项式回归的目的。例如：X = [x1, x2]

1.使用PolynomialFeatures构造X的二次多项式特征X_Poly:

X_Poly=[x1​,x2​,x1​x2​,x1^2​,x2^2​]

2.使用linear_model学习X_Poly和y之间的映射关系。

多项式回归的最大优点是可以通过增加x的高次项对样本进行逼近，直至满意为止。

PolynomialFeatures(degree=4)表示4次项，PolynomialFeatures(degree=9)表示9次项。

degree设置过高，会让样本看起来完全拟合，其实就是过拟合现象。过拟合会导致新样本严重失真。

合理设置degree，可以加大测试样本比较损失函数来挑选[1,10]间的自然数。也可以考虑矫正拟合方法：https://www.jianshu.com/p/f238457f505b 

 

单变量线性回归推导示例：

项目案例：某商企开业初期，在不同试点安排了若干名地推人员，推销会员活动。

该商企想分析下地推人员数量和卖出会员数量的关系，以便后期类似活动时提前部署。

数据信息如下(为了推演方便，仅选取5条数据)：

地推人员数量	卖出会员数量
1	14
2	24
2	18
1	17
3	27

     

将地推人员数量作为自变量X，卖出会员数量当做因变量Y，坐标轴上几个点的图形：

 

这几个点上下交错，相互连接是构不成一条直线的。如何构建线性模型 y = ax + b 呢？

这里就要提到线性回归的平方和损失函数：  

Yi是样本真实值，Y'i是样本预测值，n表示样本数量。

如果这条直线和各个点之间的距离损失和达到最小，那它就是最优直线。也就是对损失函数求最小值。

对损失函数求最小值就是运用的最小二乘法思想：最小表示min，二乘表示平方。

两点之间的距离更容易想到绝对值，用平方是因为比起取绝对值，更便于数据计算处理。

 

因为Yi=a*Xi+b，所以需要求解的是：

 

直接看求解答案：

横线头代表样本均值，通过上面的公式可以计算得到a和b，从而得到线性方程 y = ax + b 。

  

应用层面可以直接拿公式套，甚至公式也不用记，开源库都封装好了方法，传入样本数据即可得方程式。

本着不光知其然还要知其所以然的态度，查阅了一些资料，总结成自己最易理解的语言阐述下求解过程。

 

求解过程：

令f(x,y)=∑(Yi-(a*Xi+b))^2，将样本点代入，并将a、b转为常见的x、y变量。得出：

f(x,y)=(1x+y-14)^2+ (2x+y-24)^2+ (2x+y-18)^2 + (1x+y-17)^2+ (3x+y-27)^2 

f(x,y)是一个二元二次分布式，看一下它的三维图像：

上图x、y坐标显示很清晰，但是z坐标不立体，换个角度看：

从上图可以看出，这个图像是有谷底的，谷底就是f(x,y)的最小值。

在谷底处，不管x坐标，还是y坐标，其斜率都是0，也就是x和y的导数都是0。

所以，求f(x,y)的最小值就是求x导数=0和y导数=0。这个结论是重点、重点、重点！

为什么强调它，是因为查阅的N多文章都直接抛出：求f(x,y)的最小值就是求x和y的导数。这句话有2个问题：

一、怎么得出这个结论的？

二、x和y的导数是个函数，f(x,y)的最小值应该是个固定值，怎么能划等号？

后来看到一篇严谨的文章说：求f(x,y)的最小值是求x和y的导数等于0，并不能仅仅说求x和y的导数。

问题二解决了，可是问题一依然困惑。

一元二次方程求极值=求一元变量导数等于0，这个容易理解是因为抛物线的图像深入我心。

那不如类比一下，看看二元二次方程的图像吧。这才有了上面两个三维图像的来源。用python Axes3D画的。

看这个图像就很容易理解为什么要求导、为什么求两个变量的、为什么导数应该等于0了！

 

现在来重温下求导的知识点：

• 基本求导公式

       给出自变量增量   ；

       得出函数增量 ；

       作商 ；

       求极限

       比如 y=x^2，求y的导数，按照上述步骤：

        Δy=(x+Δx)^2-x^2=2xΔx+Δx^2 ；Δy/Δx=2x+Δx ；Δx趋于0，所以y的导数=2x。

• 导数的四则运算法则

       (u+v)'=u'+v'

       (u-v)'=u'-v'

       (uv)'=u'v+uv'

       (u/v)'=(u'v-uv')/v^2

• 复合函数维度下降法求导

       f[g(x)]中,设g(x)=u,则f[g(x)]=f(u)，f'[g(x)]=f'(u)*g'(x)

       比如y=(3x-2)^2，令y=u^2,u=3x-2. y'(x)=y'(u)*u'(x)=2*(3x-2)*3=18x-12.

 

现在可以对 f(x,y)=(1x+y-14)^2+ (2x+y-24)^2+ (2x+y-18)^2 + (1x+y-17)^2+ (3x+y-27)^2 求导了 ：

x导数=2*(x+y-14)*1+2*(2x+y-24)*2+2*(2x+y-18)*2+2*(x+y-17)*1+2*(3x+y-27)*3

y导数=2*(x+y-14)*1+2*(2x+y-24)*1+2*(2x+y-18)*1+2*(1x+y-17)*1+2*(3x+y-27)*1

目的是求得x导数=0、y导数=0时的x、y值。即：

(x+y-14)+(2x+y-24)*2+(2x+y-18)*2+(x+y-17)+(3x+y-27)*3=0

(x+y-14)+(2x+y-24)+(2x+y-18)+(x+y-17)+(3x+y-27)=0

即：

19x+9y=196

9x+5y=100

这是一个二元一次方程，很容易求得：x=5.7142,y=9.7142.

 

下面证明简化版的求解公式是怎么来的：

 分别对a和b求一阶偏导，求导后让其等于0，然后联立方程组解得参数a和b。

套用这个公式，依然求得：a=5.7142,b=9.7142.

 

看下二元方程图像求极值的代码，比较结果是否和求导/套用公式的一致：

import numpy as np

if __name__ == '__main__': 

   x = np.arange(0, 20, 0.1)

   y = np.arange(0, 20, 0.1)

   x, y = np.meshgrid(x, y) 

   z = (1*x+y-14)**2+ (2*x+y-24)**2+ (2*x+y-18)**2 + (1*x+y-17)**2+ (3*x+y-27)**2      

   q=[]

   for i in range(0,200,1):

      q.append(z[i])

   z=z.flatten()

   w= min(z)

   print ("损失函数的最小值是： "+str(w))

   for i in range(200):

       for j in range(200):

          if q[i][j]==w:

             break

      else: 

          continue

       break

   print ("a、b参数的值分别是： "+str(x[i][j])+" , "+str(y[i][j]))

  输出：

  损失函数的最小值是： 22.58

  a、b参数的值分别是：5.7 , 9.7

 

这个结果精度不如前面两个。原因在于x、y坐标移动步长0.1还可以更小。

如果步长太小又会导致性能变差。顺着这个思路，就不难理解梯度下降法了。

实际项目都是用计算机的梯度下降法来求极值，所以求导部分理解即可，不用强记。

 

最后看下最优直线长什么样子吧：