P5020 货币系统

题目描述

在网友的国度中共有 n 种不同面额的货币，第 i 种货币的面额为a[i]，你可以假设每一种货币都有无穷多张。为了方便，我们把货币种数为 n、面额数组为 a[1..n] 的货币系统记作 (n,a)。

在一个完善的货币系统中，每一个非负整数的金额 x 都应该可以被表示出，即对每一个非负整数 x，都存在 n 个非负整数 t[i] 满足 a[i]×t[i] 的和为 x。然而， 在网友的国度中，货币系统可能是不完善的，即可能存在金额 x 不能被该货币系统表示出。例如在货币系统 n=3, a=[2,5,9]中，金额 1,3 就无法被表示出来。

两个货币系统 (n,a) 和 (m,b) 是等价的，当且仅当对于任意非负整数 x，它要么均可以被两个货币系统表出，要么不能被其中任何一个表出。

现在网友们打算简化一下货币系统。他们希望找到一个货币系统 (m,b)，满足 (m,b) 与原来的货币系统 (n,a) 等价，且 m 尽可能的小。他们希望你来协助完成这个艰巨的任务：找到最小的 m。

输入格式

输入文件的第一行包含一个整数 T，表示数据的组数。

接下来按照如下格式分别给出 T 组数据。 每组数据的第一行包含一个正整数 n。接下来一行包含 n 个由空格隔开的正整数 a[i]。

输出格式

输出文件共有 T 行，对于每组数据，输出一行一个正整数，表示所有与 (n,a) 等价的货币系统 (m,b) 中，最小的 m。

输入输出样例

输入 #1

2 
4 
3 19 10 6 
5 
11 29 13 19 17 

输出 #1

2   
5  

说明/提示

在第一组数据中，货币系统(2,[3,10]) 和给出的货币系统 (n,a) 等价，并可以验证不存在 m<2 的等价的货币系统，因此答案为 2。 在第二组数据中，可以验证不存在 m<n 的等价的货币系统，因此答案为 5。

【数据范围与约定】

对于 100%的数据，满足 1≤T≤20,n,a[i]≥1。

思路

比较好想的是使用搜索算法，相信各位都会，这里就不多说了。主要讲一下使用完全背包来完成这件事。

根据常识，我们知道 x 只能被比它小的数字组成而不能被比它大的数字组成。

那么很显然，我们可以首先对数组排个序，然后对于每一个数考虑能不能被它前面的数字所组成。

我们知道如果 x能被前  i 个数组成且组成 x的数当中包含 ai 那么 (x−ai)也必然能被前  i 个数来组成，那么我们很容易想到定义 f(x) 表示 x 能否被组成，那么根据上面的想法显然有 f(x)=f(x)∨f(x−ai​)。

代码：

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=110,M=25010;

int n,t,ans;
int f[M],a[N];

int main () {
	scanf("%d",&t);
	while(t--) {
		memset(f,0,sizeof(f));
		scanf("%d",&n);
		ans=n;
		for(int i=1; i<=n; i++)
			scanf("%d",&a[i]);
		sort(a+1,a+1+n);
		f[0]=1;
		for(int i=1; i<=n; i++) {
			if(f[a[i]]) {
				ans--;
				continue;
			}
			for(int j=a[i]; j<=a[n]; j++)
				f[j]=f[j]|f[j-a[i]];
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}