P5023 填数游戏
题目描述
小 D 特别喜欢玩游戏。这一天，他在玩一款填数游戏。
这个填数游戏的棋盘是一个n×m的矩形表格。玩家需要在表格的每个格子中填入 一个数字（数字0或者数字1），填数时需要满足一些限制。
下面我们来具体描述这些限制。
为了方便描述，我们先给出一些定义:
我们用每个格子的行列坐标来表示一个格子，即（行坐标，列坐标）。（注意： 行列坐标均从0开始编号）
合法路径P：一条路径是合法的当且仅当：
这条路径从矩形表格的左上角的格子(0,0)出发，到矩形的右下角格子 (n−1,m−1)结束；
在这条路径中，每次只能从当前的格子移动到右边与它相邻的格子，或者 从当前格子移动到下面与它相邻的格子。
例如：在下面这个矩形中，只有两条路径是合法的，它们分别是P1： (0,0) → (0,1)→(1,1)和P2：(0,0) → (1,0) → (1,1)。
对于一条合法的路径P，我们可以用一个字符串w(P)来表示，该字符串的长度为n+m−2，其中只包含字符“R”或者字符“D”， 第i个字符记录了路径P中第i步的移动 方法，“R”表示移动到当前格子右边与它相邻的格子，“D”表示移动到当前格子下面 与它相邻的格子。例如，上图中对于路径P1，有w(P1)="RD"；而对于另一条路径P2，有w(P2)= "DR"。
同时，将每条合法路径P经过的每个格子上填入的数字依次连接后，会得到一个长度为n+m−1的01字符串，记为 s(P)。例如，如果我们在格子(0,0)和(1,0)上填入数字0，在格子(0,1)和(1,1)上填入数字 1（见上图红色数字）。那么对于路径P1，我们可以得 到s(P1)"011",对于路径P2，有s(P2)="001"。
游戏要求小D找到一种填数字0、1的方法，使得对于两条路径P1， P2，如果w(P1)>w(P2)，那么必须s(P1)≤s(P2)。我们说字符串a比字符串b小，当且仅当字符串a的字典序小于字符串b的字典序，字典序的定义详见第一题。但是仅仅是找一种方法无法满 足小D的好奇心，小D更想知道这个游戏有多少种玩法，也就是说，有多少种填数字 的方法满足游戏的要求？
小 D 能力有限，希望你帮助他解决这个问题，即有多少种填0、1的方法能满足题目要求。由于答案可能很大，你需要输出答案对10^9+7取模的结果。
输入格式：
输入文件共一行，包含两个正整数n,m由一个空格分隔，表示矩形的大小。其中n表示矩形表格的行数，m表示矩形表格的列数。
输出格式：
输出共一行，包含一个正整数，表示有多少种填0、1的方法能满足游戏的要求。 注意：输出答案对10^9+7取模的结果。
输入样例：
2 2
输出样例:
12
输入样例：
3 3
输出样例:
112
输入样例：
5 5
输出样例:
7136
说明
【样例解释】
【数据规模与约定】
思路：
代码：
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int Mod=1e9+7;
long long n,m;
long long ksm(long long a,long long b) {
long long r=1;
for(; b; a=a*a%Mod,b/=2)
if(b&1)
r=r*a%Mod;
return r;
}
int main () {
scanf("%lld%lld",&n,&m);
if(n>m)
swap(m,n);
if(n==1)
printf("%lld\n",ksm(2,m));
else if(n==2)
printf("%lld\n",4*ksm(3,m-1)%Mod);
else if(n==3)
printf("%lld\n",112*ksm(3,m-3)%Mod);
else {
if(m==n)
printf("%lld\n",(83*ksm(8,n)%Mod+5*ksm(2,n+7)%Mod)*190104168%Mod);
else
printf("%lld\n",(83*ksm(8,n)%Mod+ksm(2,n+8))*ksm(3,m-n-1)%Mod*570312504%Mod);
}
return 0;
}
