图论——最短路:Floyd,Dijkstra,Bellman-Ford,SPFA算法及最小环问题
转载自——》https://www.cnblogs.com/ninedream/p/11186049.html
一.Floyd算法
用于计算任意两个节点之间的最短路径。
参考了five20的博客
Floyd算法的基本思想如下:从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能,1是直接从A到B,2是从A经过若干个节点到B,所以,我们假设dist(AB)为节点A到节点B的最短路径的距离,对于每一个节点K,我们检查dist(AK) + dist(KB) < dist(AB)是否成立,如果成立,证明从A到K再到B的路径比A直接到B的路径短,我们便设置 dist(AB) = dist(AK) + dist(KB),这样一来,当我们遍历完所有节点K,dist(AB)中记录的便是A到B的最短路径的距离。
标准五行代码如下:
for(k=1;k<=n;k++)
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++) {
if(dis[i][k]+dis[k][j]<dis[i][j]) {
dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];
}
}
但是这里我们要注意循环的嵌套顺序,如果把检查所有节点K放在最内层,那么结果将是不正确的,为什么呢?因为这样便过早的把i到j的最短路径确定下来了,而当后面存在更短的路径时,已经不再会更新了。
更多关于Floyd算法,详细请见:Floyd算法百度百科链接
二.Dijkstra算法:
适用于权值为非负的图的单源最短路径。
斐波那契堆优化的时间复杂度为O(E+VlogV),但其实只是理论值,实际中基本上达不到。
算法思路:
参考了殷天文的博客
- 指定一个节点,例如我们要计算 'A' 到其他节点的最短路径
- 引入两个集合(S、U),S集合包含已求出的最短路径的点(以及相应的最短长度),U集合包含未求出最短路径的点(以及A到该点的路径,注意 如上图所示,
A->C
由于没有直接相连 初始时为∞) - 初始化两个集合,S集合初始时 只有当前要计算的节点,
A->A = 0
,
U集合初始时为A->B = 4, A->C = ∞, A->D = 2, A->E = ∞
,敲黑板!!!接下来要的两个步骤是核心! - 从U集合中找出路径最短的点,加入S集合,例如
A->D = 2
- 更新U集合路径,
if ( 'D 到 B,C,E 的距离' + 'AD 距离' < 'A 到 B,C,E 的距离' )
则更新U - 循环执行 4、5 两步骤,直至遍历结束,得到A 到其他节点的最短路径
朴素版时间复杂度O(n²)算法代码如下:
void Dijkstra()
{
memset(dis, 0x1f, sizeof(dis));
dis[1] = 0;
for (int i=1; i<=n; i++) {
int min_len = 1e9, k = 0;
for (int j=1; j<=n; j++)
if (!vis[j] && dis[j] < min_len) {
min_len = dis[j];
k = j;
}
vis[k] = 1;
for (int j=h[k]; j!=-1; j=edge[j].next) {
int to = edge[j].to, w = edge[j].w;
if (!vis[to] && dis[to] > dis[k]+w) {
dis[to] = dis[k]+w;
}
}
}
}
稳定时间复杂度O(mlogn)的堆优化(优先队列代替)代码如下:
void Dijkstra_Heap()
{
priority_queue<pair<int, int> > q;
memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
memset(vis,0,sizeof(v));
dis[1] = 0;
q.push(make_pair(0, 1));
while (!q.empty()) {
int now = q.top().second;
q.pop();
if (vis[now]) continue;
vis[now] = 1;
for (int i=h[now]; i!=-1; i=edge[i].next) {
int to = edge[i].to, w = edge[i].w;
if (!vis[to] && dis[to]>dis[now]+w) {
dis[to] = dis[now] + w;
q.push(make_pair(-dis[to], to));
}
}
}
}
这里有一个关于优先队列的小骚操作:
由于STL中的优先队列默认是大根堆,所以在使用push函数的时候只需在需要排序的数据前加个‘-’即可。
关于Dijkstra算法的选择上,对于稀疏图,由于n和m比较接近,故选择堆优化算法;而对于稠密图,由于点少边多,故选择朴素版算法。
更多关于Dijkstra算法,详细请见:Dijkstra算法百度百科链接
三.Bellman-Ford算法
参考博客:图解贝尔曼福特-算法
可用于解决以下问题:
- 从A出发是否存在到达各个节点的路径(有计算出值当然就可以到达);
- 从A出发到达各个节点最短路径(时间最少、或者路径最少等)
- 图中是否存在负环路(权重之和为负数)
- 有边数限制的最短路
算法思路:
- 初始化时将起点s到各个顶点v的距离dist(s->v)赋值为∞,dist(s->s)赋值为0
- 后续进行最多n-1次遍历操作,对所有的边进行松弛操作,假设:
- 所谓的松弛,以边ab为例,若dist(a)代表起点s到达a点所需要花费的总数, dist(b)代表起点s到达b点所需要花费的总数,weight(ab)代表边ab的权重, 若存在:
- (dist(a) +weight(ab)) < dist(b)
- 则说明存在到b的更短的路径,s->...->a->b,更新b点的总花费为(dist(a) +weight(ab)),父节点为a
- 遍历都结束后,若再进行一次遍历,还能得到s到某些节点更短的路径的话,则说明存在负环路
思路上与狄克斯特拉算法(Dijkstra algorithm)最大的不同是每次都是从源点s重新出发进行"松弛"更新操作,而Dijkstra则是从源点出发向外扩逐个处理相邻的节点,不会去重复处理节点,这边也可以看出Dijkstra效率相对更高点。
下面是有边数k限制的Bellman_ford算法模板:
void Bellman_ford()
{
memset(dis,0x1f,sizeof(dis));
dis[1]=0;
for(int i=1;i<=k;i++)
{
memcpy(last,dis,sizeof(last));
for(int j=1;j<=m;j++)
{
int u=edge[j].u,v=edge[j].v,w=edge[j].w;
if(dis[v]>last[u]+w)dis[v]=last[u]+w;
}
}
}
更多关于Bellman-Ford算法,详细请见:Bellman-Ford算法百度百科链接
四.SPFA算法
SPFA是西安交通大学的段凡丁在1994年与《西安交通大学学报》中发表的“关于最短路径的SPFA快速算法”,他在里面说SPFA速度比Dijkstra快,且运行V次的SPFA速度比Floyd速度快。
而事实证明SPFA算法是有局限的,他不适用于稠密图,对于特别情况的稠密图,SPFA复杂度和BellmanFord时间一样。
适用范围:适用于权值有负值,且没有负圈的图的单源最短路径,论文中的复杂度O(kE),k为每个节点进入Queue的次数,且k一般<=2,但此处的复杂度证明是有问题的,其实SPFA的最坏情况应该是O(VE).
注意:SPFA算法在网格图中非常慢
算法思路:
参考了小天位的博客
- SPFA(Shortest Path Faster Algorithm) [图的存储方式为邻接表]。
- 是Bellman-Ford算法的一种队列实现,减少了不必要的冗余计算。
- 算法大致流程是用一个队列来进行维护。 初始时将源加入队列。 每次从队列中取出一个元素,并对所有与他相邻的点进行松弛,若某个相邻的点松弛成功,则将其入队。 直到队列为空时算法结束。它可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径,可以处理负边。
- SPFA 在形式上和BFS非常类似,不同的是BFS中一个点出了队列就不可能重新进入队列,但是SPFA中,一个点可能在出队列之后再次被放入队列,也就是一个点改进过其它的点之后,过了一段时间可能本身被改进,于是再次用来改进其它的点,这样反复迭代下去。
- 判断有无负环:如果某个点进入队列的次数超过V次则存在负环(SPFA无法处理带负环的图)。
代码如下:
void SPFA() {
memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
memset(vis, 0, sizeof(vis));
queue<int> q;
dis[1] = 0; vis[1] = 1;
q.push(1);
while (!q.empty()) {
int now = q.front();
q.pop(); vis[now] = 0;
for (int i=h[now]; i!=-1; i=edge[i].next) {
int to = edge[i].to, w = edge[i].w;
if (dis[now]+w < dis[to]) { //在队列中的点也可以进行松弛操作,故这里不需加!ifq[to]的条件,而需要加在下面。
dis[to] = dis[now]+w;
if (!vis[to]) q.push(to), vis[to] = 1;
}
}
}
}
更多关于SPFA算法,详细请见:SPFA算法百度百科链接
五.最小环问题
解决思路:
最小环就是指在一张图中找出一个环,使得这个环上的各条边的权值之和最小。在Floyed的同时,可以顺便算出最小环。
记两点间的最短路为dis[i][j],g[i][j]为边<i,j>的权值。
一个环中的最大结点为k(编号最大),与它相连的两个点为i,j,这个环的最短长度为g[i][k]+g[k][j]+(i到j的路径中,所有结点编号都小于k的最短路径长度)。
根据Floyed的原理,在最外层循环做了k-1次之后,dis[i][j]则代表了i到j的路径中,所有结点编号都小于k的最短路径。
综上所述,该算法一定能找到图中最小环。
代码如下:
参考了Coder_YX的博客
void floyd(){
int MinCost = inf;
for(int k=1;k<=n;k++){
for(int i=1;i<k;i++)
for(int j=i+1;j<k;j++)
MinCost = min(MinCost,dis[i][j]+mp[i][k]+mp[k][j]);//更新k点之前枚举ij求经过ijk的最小环
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]); //更新k点
}
if(MinCost==inf)puts("It's impossible.");
else printf("%d\n",MinCost);
}
关于四种最短路算法的结论:
参考了xiazdong的博客
(1)当权值为非负时,用Dijkstra。
(2)当权值有负值,且没有负圈,则用SPFA,SPFA能检测负圈,但是不能输出负圈。
(3)当权值有负值,而且可能存在负圈,则用BellmanFord,能够检测并输出负圈。
(4)SPFA检测负环:当存在一个点入队大于等于V次,则有负环。