信息学奥赛复赛复习05-CSP-J2020-01优秀的拆分-对数函数、自然对数、以2为底的对数、幂函数、打表

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1 2020 CSP-J 题目1 优秀的拆分

[题目描述]

一般来说，一个正整数可以拆分成若干个正整数的和

例如，1=1，10=1+2+3+4 等。对于正整数 n的一种特定拆分，我们称它为“优秀的”，当且仅当在这种拆分下，n被分解为了若干个不同的 2 的正整数次幂。注意，一个数 x 能被表示成 2 的正整数次幂，当且仅当 x 能通过正整数个 2 相乘在一起得到

例如，10=8+2=2^3 + 2^1 是一个优秀的拆分。但是，7=4+2+1=2^2 + 2^1 + 2^0 就不是一个优秀的拆分，因为 1 不是 2 的正整数次幂

现在，给定正整数 nn，你需要判断这个数的所有拆分中，是否存在优秀的拆分。若存在，请你给出具体的拆分方案

[输入格式]

输入只有一行，一个整数 n，代表需要判断的数

[输出格式]

如果这个数的所有拆分中，存在优秀的拆分。那么，你需要从大到小输出这个拆分中的每一个数，相邻两个数之间用一个空格隔开。可以证明，在规定了拆分数字的顺序后，该拆分方案是唯一的

若不存在优秀的拆分，输出 -1

[输入输出样例]

输入 #1

6

输出 #1

4 2

输入 #2

7

输出 #2

-1

说明/提示

样例 1 说明

6=4+2=2^2 + 2^1 是一个优秀的拆分。注意，6=2+2+2 不是一个优秀的拆分，因为拆分成的 3 个数不满足每个数互不相同

数据范围

对于 100% 的数据，1≤n≤10^7

2 相关知识点

1) 对数函数

C++提供了几个对数函数，可以用于计算不同底数的对数

自然对数

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
/*
  自然对数 以e为底的对数 
  e的值约为2.718281828459045 
*/
int main(){
	double x= 3; 
	double natural_log = log(x);
	cout<<natural_log<<endl;
	x= 2.718281828459045;
	natural_log = log(x);
	cout<<natural_log<<endl;
	return 0;
}
/*
输出
1.09861
1 
*/ 

10为底对数

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
/*
  10为底的对数
  log10(100)=2 
*/
int main(){
	double x= 100; 
	double _log10 = log10(x);
	cout<<_log10<<endl;
	x= 1000;
	_log10 = log10(x);
	cout<<_log10<<endl;
	return 0;
}
/*
输出
2
3
*/ 

2为底对数

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
/*
  2为底的对数
  log2(16)=4 
*/
int main(){
	double x= 4; 
	double _log2 = log2(x);
	cout<<_log2<<endl;
	x= 32;
	_log2 = log2(x);
	cout<<_log2<<endl;
	return 0;
}
/*
输出
2
5
*/ 

2) 幂函数

cmath pow

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
/*
  pow函数
  该函数接收两个参数，base 为要取次方的数，exponent 为指数。返回结果为 base 的 exponent 次方 
  double x =pow(base,exponent);
  pow=(2,3)=8 
*/ 
int main(){
	int base=2;
	int exponent=3;
	double x=pow(base,exponent);
	cout<<x<<endl;
	exponent=4;
	x=pow(base,exponent);
	cout<<x<<endl;
	return 0;
}
/*
输出
8
16 
*/ 

3) 打表

在编程中，是指将重要或计算成本较高的结果预先计算好并存放在内存（表）中，以供后续操作快速引用。这种技术经常在解决算法问题时使用，尤其是面对那些具有固定规律性、重复运算量大的场景

提前计算2的幂次方，把符合范围的2的幂次方都提前计算存储数组中，后续可以直接使用

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[30],m=1;
/*
  计算所有小于10^7的数的2的幂存储的数组a
*/
int main(){
	for(int i=0;i<=22;i++){
		m*=2;
		a[22-i]=m;
	}
	for(int i=0;i<=22;i++){
		cout<<a[i]<<" ";
	} 
	return 0;
}

输出a数组数据如下

3 思路分析

思路1

1 可以分解到最小2^1次幂的和，一定是偶数，所以奇数返回-1
2 通过log2(n)计算以2为底n的对数_log2，再通过2^(_log2)计算小于n的2的最大幂次数
3 每次去除并输出2的最大幂次数
4 剩余的n 重复步骤2

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main(){
	int n;
	cin>>n;
	if(n%2==1){//奇数返回-1
		cout<<-1;
		return 0;
	}
	while(n>1){
		int x=log2(n);//n的最大幂
		int base=pow(2,x);//n的最大幂次数 比如n=16 此时base为16 ，n=17此时base也为16 
		if(n>=base){//有2的幂次数
			n-=base;//去除本次输出的2的幂次数
			cout<<base<<" ";//输出此次2的幂次数
		}
	}
}

思路2

同思路1，计算2的幂次数使用打表法

提前计算所有小于等于n的最大幂次数，此时n的最大取整为10^7

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,a[30],m=1;
int main(){
	for(int i=0;i<=22;i++){//打表提前计算所有小于10^7的幂次数，从大到小存储到a数组
		m*=2;
		a[22-i]=m;
	}
	cin>>n;
	if(n%2==1){//奇数返回-1
		cout<<"-1";
		return 0;
	}
	int idx=0;
	while(n>0 && idx<=23){//n都去除所有的2的幂次数
		if(n>=a[idx]){//包含此2的幂次数
			cout<<a[idx]<<" ";//输出此2的幂次数
			n=n-a[idx];//去除此2的幂次数
		}
		idx++;//找下一个2的幂次数
	}
	return 0;
}