信息学奥赛复赛复习03-CSP-J2019-03-纪念品-背包、01背包、完全背包

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1 2019 CSP-J 题目3 纪念品

[题目描述]

小伟突然获得一种超能力，他知道未来 T天 N 种纪念品每天的价格。某个纪念品的价格是指购买一个该纪念品所需的金币数量，以及卖出一个该纪念品换回的金币数量

每天，小伟可以进行以下两种交易无限次：

1任选一个纪念品，若手上有足够金币，以当日价格购买该纪念品

2卖出持有的任意一个纪念品，以当日价格换回金币

每天卖出纪念品换回的金币可以立即用于购买纪念品，当日购买的纪念品也可以当日卖出换回金币。当然，一直持有纪念品也是可以的

T 天之后，小伟的超能力消失。因此他一定会在第 T天卖出所有纪念品换回金币

小伟现在有 M枚金币，他想要在超能力消失后拥有尽可能多的金币

[输入格式]

第一行包含三个正整数 T,N,M，相邻两数之间以一个空格分开，分别代表未来天数 T，纪念品数量 N，小伟现在拥有的金币数量 M

接下来 T 行，每行包含 N 个正整数，相邻两数之间以一个空格分隔。第 i 行的 N 个正整数分别为 Pi,1,Pi,2,…,Pi,N，其中 Pi,j,j 表示第 i 天第 j 种纪念品的价格

[输出格式]

输出仅一行，包含一个正整数，表示小伟在超能力消失后最多能拥有的金币数量

[输入输出样例]

输入 #1

6 1 100
50
20
25
20
25
50

输出 #1

305

输入 #2

3 3 100
10 20 15
15 17 13
15 25 16

输出 #2

217

说明/提示

样例 1 说明

最佳策略是：

第二天花光所有 100 枚金币买入 5 个纪念品 1；

第三天卖出 5 个纪念品 1，获得金币 125 枚；

第四天买入 6 个纪念品 1，剩余 5 枚金币；

第六天必须卖出所有纪念品换回 300 枚金币，第四天剩余 5 枚金币，共 305 枚金币。

超能力消失后，小伟最多拥有 305 枚金币。

样例 2 说明

最佳策略是：

第一天花光所有金币买入 10 个纪念品 1；

第二天卖出全部纪念品 1 得到 150 枚金币并买入 8 个纪念品 2 和 1 个纪念品 3，剩余 11 枚金币；

第三天必须卖出所有纪念品换回 216 枚金币，第二天剩余 1 枚金币，共 217 枚金币。

超能力消失后，小伟最多拥有 217 枚金币

2 相关知识点

背包问题

01 背包

每种物品只有一个，每件物品只有选与不选两种状态

问题描述

现有 N件物品和一个容量为V的背包，第 i件物品的体积是 v[i],价值是 w[i],在背包能承受的范围内，试问将哪些物品装入背包后可使总价值最大，求这个最大价值

输入格式

第一行两个整数，N和V用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积 ( 0<=n,m<=1000)

接下来有N行每行两个整数，v[i],w[i]用空格隔开，分别表示第i件物品的体积和价值 ( 0<=v[i],w[i]<=1000)

输出格式

输出一个整数，表示最大价值

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例

8

分析

使用二维表格f[i][j]前i件物品，承重不超过j的最大价值
每增加一个物品放入背包时，会有2种情况
1 选择此物品
  放入后背包价值更大
  不放入价值已经计算好:f[i-1][j]
  放入价值 f[i-1][j-v[i]]，j-v[i]表示去除此物品提前，f[i-1][j-v[i]]表示未放入此物品，背包体积去除本物品体积的最大价值
  上面2个最最大
2 不选此物品
  放入后背包总价值小于不放入，不放入价值 f[i-1][j]

示例代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1010;
int N,V;
int v[maxn],w[maxn];//v[i]保存每件物品的体积 w[i]保存每件物品重量
int f[maxn][maxn];//f[i][j]前i件物品，承重不超过j的最大价值

int main(){
    cin>>N>>V;//N件物品 V背包容积
    for (int i=1;i<=N;i++){//输入每件物品的体积和价值
    	cin>>v[i]>>w[i];	
	}
    for (int i=1;i<=N;i++){//n件物品
    	for (int j=0;j<=V;j++){//遍历每个整数的体积
            f[i][j]=f[i-1][j];//不选择i物品时和f[i-1][j]最大价值相同
            //j<v[i]时f[i-1][j-v[i]]为空集，无意义
			if (j>=v[i]){
                //选择i时,可看做除去i的最大价值(f[i-1][j-v[i]])+加上i的价值w[i]
            	f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);//不选i和选择i集合2部分取最大
        	}
        }
	}
    cout<<f[N][V]<<endl;//N件物品装入背包不超过V体积最大价值
    return 0;
}

完全背包

每种物品有无限个，可以逐一尝试放入背包，通常再加一层循环

3 思路分析

1 每天对N种纪念币，M金币数量进行一次完全背包，计算前i中纪念币，在总金币数量为j时，可以赚到的最大金币数量

用定数量金币(相当于背包)，买不同种类纪念币价格(物品体积),赚最大金币数量(装入最大价值)

2 初始金币数量为M，累加上面每天赚到的金币，即最后获得金额总额

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T,N,M;//T未来的天数 N纪念品数量 M金币数量
int price[105][105];//存放第i天 第j个纪念品的价格
int dp[105][10005];//表示前i种纪念币，在总金币数量为j时，可以赚到的最大金币数量 
int main(){
	cin>>T>>N>>M;//T未来的天数 N纪念品数量 M金币数量
	for(int i=1;i<=T;i++){
		for(int j=1;j<=N;j++){//输入未来T天的，N种纪念币价格到price数组 
			cin>>price[i][j];
		}
	}
	
	for(int t=1;t<=T-1;t++){//T天对应T-1天价格异动
		/*
		每天对N种纪念币，M金币数量进行一次完全背包，
		计算前i中纪念币，在总金币数量为j时，可以赚到的最大金币数量 
		完全背包思路
		用定数量金币(相当于背包)，买不同种类纪念币价格(物品体积),赚最大金币数量(装入最大价值) 
		*/
		for(int i=1;i<=N;i++){ 
			int cost=price[t][i];//i物品价格(物品体积)
			int value=price[t+1][i]-price[t][i];//t+1次i物品价格- t次i物品价格 ，t次赚金币数量(物品价值) 
			for(int j=1;j<=M;j++){//从1~M枚举，前i个物品，总金币为j时，赚取最大金币数量 
                /*
                   此处通过循环M，金币数量，可以多次买入某种纪念币，类似完全背包
                   纪念币价格为20，金币为100
                   20的时候买1个，21的时候买1个...
                   40的时候买2个，41的时候买2个...
                 */
				if(j>=cost){//金币足够可以买，买不一定活动金币更多，有可能亏钱，所以买和不买取最大价值
					/*
					不买，相当于赚取的钱和前i-1个金币一样多，所以为 dp[i-1][j]
					买，总共买i个纪念币，钱分2部分，j-cost,cost
					j-cost应价值已经计算过，d[i][j-cost],cost对应 value，所以dp[i][j-cost]+value 
					不买和买取最大  max(dp[i-1][j],dp[i][j-cost]+value)
					*/ 
					dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-cost]+value);
				}else{// 不够买 相当于赚取的钱和前i-1个金币一样多，所以为 dp[i-1][j]  
					dp[i][j]=dp[i-1][j];
				}
			}
		}
		M+=dp[N][M];//拥有最多金币，包括初始金币和T天中每天赚取的金币(如果不赚钱，本次累加0) 
	}
	cout<<M;
	return 0;
}